Campo gravitatorio

Con esta nueva sección queremos poner nuestro granito de arena para ayudar a todos aquellos estudiantes de física de 2º de bachillerato de toda España que se van a presentar a la EVAU. El orden que vamos a seguir con las entradas es el siguiente:

1. Campo gravitatorio
2. Movimiento armónico simple
3. Ondas
4. Campo eléctrico
5. Campo magnético
6. Inducción electromagnética
7. Física cuántica
8. Física relativista
9. Física nuclear

NOTA IMPORTANTE: En negrita y cursiva se denotan las magnitudes vectoriales.

CONCEPTOS BÁSICOS

1. Fuerza gravitatoria

La ley de gravitación universal (Newton, 1687) expresa que dos partículas materiales se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Para dos partículas de masas m₁ y m₂ separadas una distancia r desde sus centros, el módulo de la fuerza F₁₂ que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2 (y viceversa F₂₁) es:

F₁₂ = F₂₁ = Gm₁m₂⁄_r²

siendo G la constante de gravitación universal cuyo valor es de G = 6.67 · 10^-11 N · m² · kg^-2.

La unidad de fuerza en SI es el Newton (N).

La dirección del vector fuerza es la recta que une las dos masas, pero F₁₂ y F₂₁ tienen sentidos contrarios:

El principio de superposición dice que en un sistema de masas, cada una de ellas ejerce una fuerza dada por la ley de la gravitación universal sobre cada una de las restantes, así que la fuerza neta que actúa sobre cada masa es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre ella por el resto de las masas que conforman el sistema.

2. Campo gravitatorio

El campo gravitatorio es la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener masa, atrayendo hacia él a los demás objetos que están a su alrededor. La intensidad del campo gravitatorio g  se define como una cantidad tal, que cuando se multiplica por una unidad de masa, el resultado es la fuerza sobre esa masa puntual.

El módulo de la intensidad de este campo creado por una partícula de masa M a una distancia r de su centro disminuye según nos alejamos del cuerpo acorde a la ecuación:

g = GM⁄_r²

La unidad de campo gravitatorio en el SI es el Newton partido por kilogramo (N/kg).

La dirección del vector campo es la recta que une la masa M con el punto P en el que se mide el campo, y el sentido es hacia la masa que lo crea:

Pero un momento…Esto quiere decir que todos los cuerpos con masa crean un campo gravitatorio, pero yo no veo que esté atrayendo a ese libro de física que tengo delante del escritorio…¿Por qué? La respuesta está en que el valor de la constante G es muy pequeño (∼10^-11 N · m² · kg^-2), así que para que se noten los efectos del campo gravitatorio la masa que lo crea ha de ser muy grande (como la de un planeta, por ejemplo).

Para un punto situado sobre la superficie de la Tierra,  r = R_T = 6.37 · 10⁶ m y M = M_T = 5.98 · 10²⁴ kg, así que el campo gravitatorio vale g = 9.8 N/kg.

Animación del campo gravitatorio de la Tierra

Animación del campo gravitatorio del sistema Tierra/Luna

Características del campo gravitatorio:

-Al ser una magnitud vectorial, también sigue el principio de superposición explicado para la fuerza gravitatoria.

-Es un campo radial y disminuye con el cuadrado de la distancia, por lo que se trata de un campo central.

-El sentido del campo es hacia la masa que crea el campo, porque la fuerza gravitatoria es siempre atractiva.

La fuerza gravitatoria F  sobre una masa m situada en un punto en el que la intensidad del campo gravitatorio es g  se expresa por lo tanto como:

F  = mg

El peso p de un cuerpo de masa m es la fuerza con la que la Tierra lo atrae, y su módulo es:

p = 9.8 m

3. Líneas de campo gravitatorio

El campo gravitatorio puede representarse mediante líneas de campo, que se trazan de tal modo que el vector campo gravitatorio sea tangente a ellas. Asimismo, la densidad de líneas de campo es proporcional al módulo del campo gravitatorio, así que este será más intenso en la región donde más líneas haya.

4. Flujo de campo gravitatorio

El flujo de campo gravitatorio Ø a través de una superficie cerrada S es una medida del número de líneas de campo que la atraviesan por unidad de superficie:

Ø = ∮ g · dS

La unidad de flujo de campo gravitatorio en el SI es: Nˑm²/kg

El teorema de Gauss establece que el flujo de campo gravitatorio a través de una superficie cerrada (sea cual sea su forma) que rodea a la masa M que crea el campo es directamente proporcional a dicha masa:

Ø = – 4πGM

Gracias a este teorema se puede calcular el campo gravitatorio alrededor de una esfera de masa M a una distancia r, y se obtiene el valor que ya habíamos visto anteriormente:

g = GM⁄_r²

5. Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de una masa m en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar a la masa m desde dicho punto hasta el infinito, y se obtiene integrando la fuerza gravitatoria a lo largo de esta trayectoria. Cuando la masa que crea el campo es M y la masa m está situada a una distancia r, la energía potencial tiene el siguiente valor:

E = – GMm/r

La unidad de la energía en el SI es el Julio (J)

6. Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar una unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito, y se obtiene integrando el campo gravitatorio a lo largo de esta trayectoria. Cuando la masa que crea el campo es M y el punto en el que se mide el potencial está situado a una distancia r, el potencial gravitatorio tiene el siguiente valor:

V = – GM/r

La unidad del potencial gravitatorio en el SI es el Julio partido por kilogramo (J/Kg)

Si se traslada una masa m desde un punto A (en el que el potencial gravitatorio vale V_A) hasta otro punto B (en el que el potencial gravitatorio vale V_B), el trabajo que desempeña el campo gravitatorio es:

W = m (V_A-V_B)

Características del potencial gravitatorio:

-La función potencial V es continua en todos los puntos del espacio.

-Las líneas de campo gravitatorio señalan en la dirección en la que el potencial gravitatorio disminuye más rápidamente.

7. Superficies equipotenciales

Son superficies donde el flujo de campo gravitatorio es constante. Se caracterizan por:

-Ser esféricas.

-Ser perpendiculares a las líneas de campo en cualquier punto.

8. Leyes de Kepler

PRIMERA LEY: Todos los planetas se mueven órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos.

SEGUNDA LEY: La recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

TERCERA LEY: El cuadrado del período T del movimiento de un planeta de masa M con respecto al Sol es directamente proporcional al cubo de la distancia media r de dicho planeta al Sol:

_{T² = 4π²r³/(GM)}

9. Movimiento de satélites

Usando la ley de conservación de la energía gravitatoria y cinética de un satélite de masa m que orbita un planeta de masa M a una distancia r de su centro, se obtiene que la velocidad v a la que orbita es:

_{v² = GM/r}

siendo por lo tanto su periodo de revolución:

_{T = 2πr/v}

La velocidad que debe adquirir un cuerpo situado a una distancia r del campo gravitatorio creado por otro de masa M para poder escapar de dicho campo se denomina velocidad de escape, y se calcula aplicando la ley de conservación de la energía, teniendo en cuenta que cuando el objeto ha escapado del campo no tiene energía potencial gravitatoria:

v_e²= 2GM/r

Animación del movimiento de un satélite alrededor de la Tierra

EJERCICIOS RESUELTOS

Debido a la gran cantidad de ejercicios resueltos de física para la EVAU disponibles online, os dejamos los siguientes enunciados y su correspondiente resolución.

BIBLIOGRAFÍA

Libro de Física de 2º de bachillerato de la editorial Edebé.

Para cualquier duda de este tema, dejadnos un comentario en esta entrada y os contestaremos lo antes posible!