¿Qué sabes de los números complejos?

Tenemos infinitos números: los naturales (los de contar), los enteros (positivos, negativos y el cero), racionales(fracciones y decimales) e irracionales(con infinitos decimales sin repetirse). Todos estos forman los números reales, sin embargo no los tenemos todos. Hay un conjunto de números que la mayoría de personas desconocen y aquí, vamos a hablar de ellos. Estamos hablando de los denominados Números Complejos.

Ante la insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como x²+1=0  o generalizando, x²+n=0, donde n puede ser cualquier número mayor o igual que 1. Se amplió el grupo de números creando el conjunto de Números Complejos siendo este una extensión de los números reales, es decir,  

Antes de entrar a definir más en profundidad que es un Número complejo cabe explicar previamente qué es un número imaginario. Un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, es decir, un numero del tipo x= a +ib : a=0, donde b puede ser cualquier número perteneciente a los reales e  . En el siglo XVIII Euler definió a este número como imaginario intentando explicar que no tiene existencia en el plano real. El primero en utilizar la unidad imaginaria para realizar cálculos fue Rafael Bombelli en 1572 quien los incluyó en el trabajo matemático que estaba realizando en la época.

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b) donde la parte real se representa como Re(z)=a y la parte imaginaria como Im(z)=b. Los núnmeros complejos cumplen las mismas propiedades básicas que los reales, como son la asociativa y conmutativa.

Un número complejo tiene diversas formas de representación matemática esto es debido a que según en qué estemos trabajando es más fácil utilizar una representación u otra:

  • Forma binómica:

z= a +ib  :  a,b ∈ℜ

  • Forma polar:

    (módulo) y  θ=arctg(b/a) (argumento), por lo que  definimos el número          complejo en polares como:  z=r (cosθ +isenθ).  

  • Forma binómica:

Procedente de La fórmula de Euler atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que: 

Por lo que el número complejo quedaría representado como: 

  • Forma de matrices de orden 2:

En el cuerpo de las matrices de segundo orden (matrices de 2×2) sobre el campo de números reales, se puede hallar un subconjunto que es de la misma dimensión al cuerpo de los números complejos. Pues, se establece una correspondencia entre cada número complejo a+bi con la matriz .

En esta representación sabemos que la siguiente matriz  corresponde a la unidad imaginaria:

Las principales aplicaciones de los números complejos se dan en las matemáticas y en la física.

Las aplicaciones en las matemáticas son cuantiosas ya que los números complejos forman parte de diferentes ramas dentro de ella. Una de las ramas en las que este conjunto ayuda en gran medida es Álgebra. Los números complejos solucionan las ecuaciones que en los reales no tienen solución, y además, aportan dos soluciones. Esto es debido a que no solo el numero complejo es solución, sino que también lo es su conjugado (si z=a+bi su conjugado es z=a-bi).

Los números complejos también ayudan en el análisis de funciones ( si se trabaja en complejos se conoce como análisis de variable compleja). El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas (dos dimensiones). El problema que surge de esto es que las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Para poder representarlos se suele utilizar el color como cuarta dimensión. Los números complejos también juegan un rol importante en las transformaciones de Fourier.

Otra rama de las matemáticas en las que aparecen los complejos es en ecuaciones diferenciales, ya que los números complejos aparecen de forma natural en las soluciones de las ecuaciones lineales.

Por último, el conjunto de complejos también aparece en muchos objetos fractales (objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas), como el conjunto de Mandelbrot (dibujo posterior) .

Los números complejos también se puede introducir en muchos campos de la física como son la aerodinámica, la ingeniería electrónica o en otros campos para el análisis de señales periódicas. Aunque no siempre fueron bien recibidos ya que en física clásica, los números complejos sólo se usan como medio para recordar las dos coordenadas de un vector de dos dimensiones, además de aportar algo sobre la longitud de vectores de dos dimensiones. El cambio surgió con la aparición de la mecánica cuántica donde las ondas debían ser complejas para que se pudiera recordar la dirección y el momento del movimiento.

La continuación de “funciones de espectro” nos llevan a valores complejos de energía. También  Se pueden unificar las fórmulas de resistencias, capacidades, e inductores agregando resistencias imaginarias.

En la física térmica, es posible obtener cantidades de energía imaginarias. Esto se deriva de conceptos y fórmulas muy complicadas, como la distribución de Maxwell-Boltzmann, valores Hamiltonianos, entre otros.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. O tambien en ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en números el comportamiento de los fluidos.

En conclusión, los números complejos aparecen en casi todos los aspectos de la física en algunos campos como medio de simplificación de las fórmulas más complejas.

Por último, podemos generalizar los números complejos dando lugar a un nuevo conjunto llamado los números hipercomplejos (extensión de los números complejos construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como terniones, cuaterniones,  octoniones, y sedeniones). Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones y 8 para los octoniones).

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