Física relativista

Uno de mis profesores del grado en física nos dijo que nadie se matricula en esta carrera para estudiar planos inclinados y poleas, así que vamos a empezar un bloque de 3 nuevos artículos sobre la física moderna! El primero de ellos es sobre la física relativista, que es de especial importancia en la sociedad actual. Entre sus aplicaciones más importantes destacan los aceleradores de partículas que nos permiten estudiar las partículas de las que estamos hechos, los GPS que nos permiten orientarnos o los relojes de alta precisión.

En este artículo veremos la relatividad en la mecánica clásica estudiada por Galileo y posteriormente estudiaremos la teoría de la relatividad especial de Einstein, enunciada en 1905, y que constituye una de las teorías más famosas y fascinantes de la física, donde está incluida la famosa ecuación E = mc².

CONCEPTOS BÁSICOS

NOTA IMPORTANTE: En negrita y cursiva se denotan las magnitudes vectoriales.

1. Sistemas de referencia

Un sistema de referencia es un punto del espacio respecto al cual se mide el movimiento de uno o varios cuerpos. Este movimiento dependerá del sistema de referencia elegido para tratar el problema.

Vamos a considerar el ejemplo un observador O de pie en una estación de tren, que observa una caja en reposo sobre el suelo de un vagón de un tren de mercancías. En el vagón del tren un observador O’  está quieto al lado de la caja.

Los sistemas de referencia pueden ser de dos tipos:

• SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES: Se mueven con velocidad constante o permanecen en reposo respecto a otros sistemas de referencia inerciales. En ellos, se cumple la primera ley de Newton y las únicas fuerzas que causan variaciones en los movimientos son fuerzas reales (cumplen la tercera ley de Newton).

En el ejemplo, cuando el tren acelera, el observador O de la estación verá que el tren ejerce una fuerza sobre la caja (fuerza real) y ésta retrocede. La estación es entonces un sistema de referencia inercial, porque permanece en reposo, y el observador O es un observador inercial, porque está situado en un sistema de referencia inercial.

• SISTEMAS DE REFERENCIA NO INERCIALES: Se mueven con cierta aceleración respecto a un sistema de referencia inercial. En ellos, no se cumple la primera ley de Newton y aparecen fuerzas ficticias (no cumplen la tercera ley de Newton).

En el ejemplo, cuando el tren acelera,  el observador O’ situado en el tren verá que la caja retrocede, pero sin que ninguna fuerza aparente actúe sobre ella (fuerza ficticia). El tren es un sistema de referencia no inercial, porque tiene cierta aceleración respecto a la estación, y el observador O’ es un observador no inercial, porque está situado en un sistema de referencia no inercial.

2. Transformaciones de Galileo

En el siglo XVII, Galileo Galilei enunció el siguiente principio: “cualquier experimento mecánico en un sistema en reposo se desarrollará igual que en un sistema que se mueva a velocidad constante”. Es decir, sólo podremos saber si un sistema de referencia se mueve o permanece en reposo con respecto a otro sistema de referencia, no existe el movimiento en términos absolutos. Además, establece que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes.

Las transformaciones de Galileo permiten pasar de las coordenadas de un punto (x, y, z)  respecto a un sistema S en reposo a sus coordenadas (x’, y’, z’) respecto a un sistema S’ que se mueve con una velocidad v  respecto al primero.

Por ejemplo, vamos a considerar el caso de una nave espacial (sistema S’ ) que se mueve con un MRU de velocidad constante v  en el eje X alejándose de la Tierra (sistema S). Si un viajero de la nave conoce la trayectoria (x, y, z) de la Luna respecto a la Tierra, pero quiere conocer la trayectoria (x’, y’, z’) de la Luna respecto a la nave espacial en la que él se encuentra podrá hacerlo usando las transformaciones de Galileo:

x’ = x – vt

y’ = y

z’ = z

Para averiguar la velocidad de la Luna (v_x^‘, v_y^‘, v_z^‘ ) respecto a la nave espacial (sistema S’) dada la velocidad de la Luna respecto a la Tierra (v_x, v_y, v_z) , se usa la ley de adición de las velocidades, que se obtiene derivando las transformaciones de Galileo:

v_x^‘ = v_x – v

v_y^‘ = v_y

v_z^‘ = v_z

3. Postulados de Einstein

En 1905, el físico Albert Einstein revolucionó la física tal y como se conocía hasta ese momento, publicando la teoría de la relatividad especial, aplicable a todos los fenómenos físicos, tanto mecánicos como electromagnéticos. Esta teoría se fundamenta en dos postulados:

• Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.
• La velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales, cualquiera que sea la velocidad de la fuente con la que ésta se emite.

Este segundo postulado implica que las transformaciones de Galileo no son válidas, dado que la velocidad de la luz c en un sistema S en reposo medida desde el sistema S’ en movimiento con una velocidad v sería c’ = c – v , y esto no es cierto, dado que la velocidad de la luz registrada en S’ es también c.

4. Transformaciones de Lorentz

Einstein observó que las transformaciones válidas eran las transformaciones de Lorentz, propuestas por el físico H.A. Lorentz en 1892.

Para simplificar su enunciado, se definen previamente los siguientes parámetros:

β = v / c

γ = 1 / √(1 – β²)

Para el caso de la nave espacial, la Tierra y la Luna, se pueden obtener las coordenadas (x’, y’, z’) de la Luna respecto al sistema S’ (nave espacial) dadas las coordenadas (x, y, z) de la Luna respecto al sistema S (la Tierra) usando las transformaciones de Lorentz:

x’ = γ (x – vt)

y’ = y

z’ = z

t’ = γ (t – βx / c)

Se diferencian de las transformaciones de Galileo en dos puntos principales:

• El tiempo t medido por un observador en S y el tiempo t’ medido por otro observador en S’ es diferente, mientras que Galileo asumía que ambos tiempos eran iguales.
• No es posible superar la velocidad de la luz con estas trasformaciones. Si v  fuera igual o mayor a c, γ sería un número imaginario y esto no tendría sentido físico.

Cabe destacar que las transformaciones de Lorentz se reducen a las de Galileo si v es mucho menor que c, ya que en éste caso β valdría cero y  γ valdría uno.

La velocidad (v_x^‘, v_y^‘, v_z^‘ ) de la Luna respecto al sistema S’ (nave espacial) se puede obtener a partir de su velocidad (v_x, v_y, v_z) respecto al sistema S (la Tierra) derivando las transformaciones de Lorentz respecto al tiempo, para llegar así a la fórmula relativista de adición de velocidades:

v_x^‘ = (v_x – v ) / (1 – v_xv/c²)

v_y^‘ = v_y √(1 – β²) / (1 – v_xv/c²)

v_z^‘ = v_z √(1 – β²) / (1 – v_xv/c²)

5. Simultaneidad de la relatividad

De las transformaciones de Lorentz se deduce que dos sucesos que son simultáneos para un observador no lo son para otro observador que se mueva respecto al primero.

Por ejemplo, un observador O’ se encuentra en el centro de un tren que se mueve con velocidad constante v respecto al andén de una estación, donde está situado un observador O.  Justo cuando O está situado frente a O’ caen dos rayos sobre los puntos A y B que chamuscan los extremos A’ y B’ del vagón, y cada observador afirma:

• O percibe que ambos rayos han caído al mismo tiempo, así que afirma que cayeron simultáneamente.
• Al estar en el tren en movimiento, O’ percibe que como él se mueve hacia B mientras se aleja de A, ve que el rayo A cae antes de que el rayo B, así que afirma que ambos rayos no cayeron simultáneamente.

6. Dilatación relativista del tiempo

El tiempo propio t₀ medido en un sistema en movimiento con velocidad v  parece dilatarse cuando se mide desde un sistema en reposo, en el que toma el valor t acorde a la ecuación:

t = t₀ / √(1 – β²) = γ t₀

Pongamos el caso de un piloto que percibe que su corazón late 1 vez por segundo cuando está a bordo de un avión que se mueve con una velocidad de 0.9c, su pulso será percibido por los controladores aéreos situados en reposo en el aeropuerto como:

t = 1  / √(1 – 0.9²)  = 2.29 s

Así que para ellos, el corazón del piloto late a 2.29 veces por segundo. Asimismo, si el corazón de los controladores aéreos late 1 vez por segundo, el piloto percibirá que este latido es de 2.29 veces por segundo.

7. Contracción relativista de la longitud (Lorentz-Fitzgerald)

La longitud propia L₀ medida en un sistema en movimiento con velocidad v  parece contrarse cuando se mide desde un sistema en reposo, en el que toma el valor L acorde a la ecuación:

L = L₀ √(1 – β²) = L₀ / γ

Por ejemplo, si otro piloto a bordo de un avión que se mueve con una velocidad de 0.8c mide que su aeronave tiene un tamaño de 250 m, el tamaño del avión que percibirán los controladores aéreos situados en reposo en el aeropuerto será:

L = 250 √(1 – 0.8²) = 150 m

Por lo tanto, para ellos el avión medirá 150 m. Asimismo, si los técnicos del aeropuerto miden que la longitud de un avión estacionado es de 250 m, el piloto percibirá que éste mide 150 m.

8. Masa relativista

Einstein dedujo que la masa de un cuerpo depende de la velocidad con la que se mueva. Es decir, si un objeto de masa en reposo m₀ se mueve a una velocidad v, entonces su masa en movimiento m será:

m = m₀ / √(1 – β²) = γ m₀

Si la masa de una bola de billar en reposo es de 0.4 kg y la aceleramos hasta que alcanza una velocidad constante de 0.6c, entonces su masa será:

m = 0.4 / √(1 – 0.6²) = 0.5 kg

9. Energía relativista

Uno de los puntos importantes de la teoría de Einstein es el principio de equivalencia de la masa y la energía, es decir, todo cuerpo con masa tiene una energía asociada. De aquí sale la ecuación más famosa de la física: E = mc².

La energía en reposo E₀ de una partícula cuya masa en reposo es m₀ tiene un valor de:

E₀ = m₀c²

La energía total E de una partícula cuya masa en movimiento es m tiene un valor de:

E = mc²

La energía cinética E_c necesaria para que una partícula de masa en reposo m₀ adquiera una masa en movimiento m es la diferencia las dos energías anteriores:

E_c = E – E₀ = (m – m₀) c²

Para el ejemplo anterior de la bola de billar, esta energía sería:

E = (0.5 – 0.4) · (3 · 10⁸)² = 9 · 10¹⁵ J

EJERCICIOS RESUELTOS

Debido a la gran cantidad de ejercicios resueltos de física para la EVAU disponibles online, os dejamos los siguientes enunciados y su correspondiente resolución.

BIBLIOGRAFÍA

Libro de Física de 2º de bachillerato de la editorial Edebé.

Para cualquier duda de este tema, dejadnos un comentario en esta entrada y os contestaremos lo antes posible!