Quizás el primer modelo que uno ve al empezar a meterse en el mundo de la física es el newtoniano, cuyos axiomas son las Leyes de Newton. En este artículo sólo vamos a dar algunas ideas básicas de un formalismo más poderoso debido, entre otras cosas, a su fácil generalización a otras teorías. Se trata de, ni más ni menos que el formalismo lagrangiano.

Vamos a explicar por encima que es y llegaremos a las ecuaciones de Euler-Lagrange (las cuentas de la demostración están en un apéndice al final), aunque explicaremos primero las bases matemáticas necesarias para entender el desarrollo.

Lo esencial de las derivadas

Sí que es necesario saber derivar para entender lo que vamos a explicar, pero únicamente eso. Como recordatorio, la derivada de una función $latex f$ nos dice lo sensible que es esa función antes ligeros cambios en su variable, $latex x$. Si el cambio en la variable es $latex \delta x$ y el incremento, variación o diferencia en la función debido a $latex \delta x$ es $latex \delta f = f(x+\delta x)-f(x)$, entonces el factor de proporcionalidad entre ellos es la derivada:

$latex \delta f = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \delta x $

Si tenemos varias variables entonces usaremos derivadas parciales, que nos expresan lo sensible que es $latex f$ antes cambios de una sola variable manteniendo la otra fija.

$latex \delta f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \delta y$

Es importante acordarse de la regla del producto,

$latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)g(x))=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)+f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$

y de la regla de la cadena, en particular aplicada a funciones de varias variables:

$latex \delta f = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x(t),y(t)) \mathrm{d}t = \left[\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]\mathrm{d}t$

Sobre la integración, la idea fundamental es la siguiente: la derivada, si la multiplicamos por la variación en la variable, $latex \delta x$, nos aproximala la diferencia de la función entre un valor y uno “infinitamente” próximo, $latex \delta f = f(x+\delta x)-f(x)$. Si sumamos muchas de estas diferencias pequeñas nos quedamos con una diferencia grande:

$latex \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\, \mathrm{d}t = \int \mathrm{d} f = f(t_2)-f(t_1)$

Con un ejemplo: velocidad por tiempo pequeño es aproximadamente el espacio recorrido. La suma de esos pequeños espacios recorridos es la diferencia total en posición.

Formalismo lagrangiano

¿Qué es lo que entiende uno por “ley física”? Para el autor, es una expresión matemática a partir de la cual uno puede conocer el comportamiento de un sistema físico real (dentro de las limitaciones del modelo matemático que se usa). Dejemos las abstracciones y pongámonos con los pies en la tierra: un ejemplo sería la segunda ley de newton para una partícula puntual,

$latex \vec{F} = m\vec{a}$

donde $latex \vec{F}$ es la fuerza neta sobre la partícula, $latex m$ su masa y $latex \vec{a}$ su aceleración. Si conocemos la fuerza, entonces con conocer la posición y velocidad $latex (x,v)$ en algún instante (condición inicial), tenemos determinado el sistema.

Supongamos que ahora nos gustaría pensar en todos los sistemas posibles. Una forma es considerando cualquier fuerza imaginable y cualquier condición inicial que quisiésemos, pero de esta manera es difícil visualizar la evolución del sistema. Luego partamos de la solución y olvidémonos de las fuerzas de momento. La “solución” es la evolución o trayectoria del sistema en el espacio de posiciones y velocidades, $latex (x(t),v(t))$, es decir, dada una trayectoria en el espacio asignamos de manera coherente una velocidad asignada a cada punto de la trayectoria. De esta manera podemos describir cualquier sistema (de momento, clásico ideal de una sola partícula puntual aunque es generalizable a varias fácilmente). Al conjunto de todas las posibles combinaciones de posiciones y velocidades lo llamaremos espacio de fases, y la evolución es una caminata o curva continua y suave en este espacio, es decir, a cada tiempo asignamos una posición y velocidad $latex (x(t),v(t))$.

Por ejemplo, consideremos una manzana que cae desde la mesa al suelo bajo la acción gravitatoria. En cada punto de su trayectoria tiene una velocidad que podemos calcular sabiendo la fuerza. Pero dada esa trayectoria podemos imaginar mundos alternativos donde tiene otra velocidad. Por ejemplo, que la velocidad sea cero al empezar a caer, llegue a 2 m/s a un tercio del camino, y baje hasta llegar a 1 m/s en el suelo. Esto no pasaría con una fuerza gravitatoria, pero la idea es que alguna fuerza podemos definir que cause el movimiento que hemos descrito.

Notemos que tenemos libertad de escoger otras coordenadas para describir el espacio de fases y conceptualmente el resto del artículo no cambiaría, únicamente la notación, pero usaré posiciones y velocidades porque es más fácil interpretarlo.

¿Por qué todo este rollo? Con la Ley de Newton, tendríamos que trabajar con vectores y a veces resulta incómodo. En particular a los físicos les gusta cuando se minimiza o maximiza algo. Luego vamos a diseñar un modelo matemático en el que asignamos un número a cada posible trayectoria en el espacio de fases y este número será máximo o mínimo para la solución correcta. Esta es la idea base del formalismo Lagrangiano.  Llamaremos acción $latex S$ a esta función (o mas bien, funcional) que a cada trayectoria asigna un valor numérico.

Una idea sencilla podría ser esta: si fijamos los tiempos entre los cuales nos interesa hallar la solución, digamos $latex t_1$ y $latex t_2>t_1$ entonces podemos ver la acción total como suma de “acciones pequeñas” que nos pesan la función en cada instante del tiempo:

$latex S = \int \mathrm{d}S= \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x(t),v(t))\,\mathrm{d}t$

A esta densidad temporal de acción la llamaremos “Lagrangiano”. Si en la acción consideramos una variación infinitesimal en las posiciones, $latex x(t)\to x(t)+\delta x(t)$ se puede demostrar que $latex S$ es mínima (o máxima) para trayectorias que cumplen la siguiente ecuación que se ha bautizado como “Euler-Lagrange” (ver los apéndices):

$latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}$

Esta ecuación tiene similitud con la Ley de Newton, $latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}mv=F$, si tenemos en cuenta que la fuerza casi siempre se puede escribir como el gradiente de un potencial $latex V$ en las posiciones, $latex F=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}$. Si generalizamos, podemos definir un potencial análogo a $latex V$ pero no sólo para las posiciones, sino para las velocidades también, es decir, un potencial de la forma:

$latex \mathrm{d}\mathcal{L}=mv\mathrm{d}v+F\mathrm{d}x$

Se ha construido adrede para que verifique trivialmente que $latex \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = mv$ y $latex \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = F$, es decir, la ley de Newton. Integrando $latex \mathrm{d}\mathcal{L}$ sacamos:

$latex \mathcal{L}=\frac{1}{2}mv^2-V(x)=T(x)-V(x)$

Con este Lagrangiano recuperamos la ley de Newton pero podemos hallar otros para otras teorías. Por ejemplo, en la teoría de campos, hay un Lagrangiano de una página que describe el modelo estándar de la física de partículas.

Conclusión

En este artículo hemos esbozado los esencial de el formalismo Lagrangiano. En los apéndices el lector puede profundizar un poco más y se le recomienda. Los apéndices están para no alargar demasiado el artículo principal y no porque no sean importantes. Si tiene cualquier duda, ¡deje un comentario!

 Apéndices

1. Camino alternativo para llegar al principio de mínima acción

En vez de plantear el problema tal como lo hemos hecho, podemos partir de las leyes de Newton y llegar a las leyes de mínima acción (fuente de este razonamiento).

En equilibrio estamos en un mínimo o máximo (= equilibrio inestable) de la energía potencial. Luego si nos movemos infinitesimalmente en el equilibrio tenemos que el trabajo se anula por la propia definición, porque el gradiente de energía potencial es nulo en dichos puntos.

$latex V(x+\delta x)=V(x)+\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \delta x + O(\delta x^2) \rightarrow \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \delta x = -dW = F\delta x = 0$

Este es el principio de trabajos virtuales: un desplazamiento pequeño no causa trabajo y es equivalente a que la suma de las fuerzas sea nula. ¿Cómo se generaliza a sistemas dinámicos? Pues si necesitamos que la fuerza neta se anule, podemos inventarnos una fuerza más generalizada que es la fuerza menos la fuerza:

$latex F=ma \rightarrow F-ma=F’=0$

Si al lector le parece una trivialidad, pues es que lo es, pero haciendo esto podemos reescribir las cosas y llegar a una formulación más general. Notemos que aunque parece lo mismo, para el equilibrio estático solemos hallar únicamente algún punto que está en equilibrio. En la dinámica tenemos que hay trayectorias, y eso complica las cosas bastante. Pero sigamos: como $latex F’=0$ podemos usar el mismo razonamiento que en el primer caso del equilibrio y decir que los trabajos virtuales con esta fuerza serán nulos

$latex (F(x(t))-m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2})\, \delta x(t) = 0$

He dejado explícita la dependencia temporal para poner énfasis en que esta condición se refiere a una posición y un tiempo particular de la partícula, pero en realidad, vale para todos, ¿no? Luego si sumamos esta cantidad a varios tiempos debe de seguir dando cero, luego la integral se anula. En el desplazamiento virtual, nosotros elegimos el camino, luego lo cogeremos de manera que dos puntos se mantengan fijos, es decir, $latex \delta x(t_1)=0$ y $latex \delta x(t_2)=0$.

$latex \int_{t_1}^{t_2} (F(x(t))-m\ddot x(t))\delta x(t) \, \mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \delta x(t) – m \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v(t) \right) \delta x(t) \, \mathrm{d}t = $

$latex = \int_{t_1}^{t_2} -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \delta x(t) – m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} x(t)\delta x(t) +m v(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \delta x –   m v(t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \delta x \, \mathrm{d}t = $

$latex = \int_{t_1}^{t_2} m v(t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \delta x -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \delta x(t) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( m\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \delta x(t) \right)  \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}t $

$latex = \int_{t_1}^{t_2} \delta \left(\frac{1}{2} m v^2-V \right) \, \mathrm{d}t +  mv \delta x(t_2) – mv \delta x(t_1)    $

$latex = \delta  \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{1}{2} m v^2-V \right) \, \mathrm{d}t +  0 \equiv \delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x,v) \, \mathrm{d}t  $

Vemos que llegamos al principio de mínima acción. El lector quizás se habrá perdido en las cuentas, quizás no, pero con lo debería quedarse es lo siguiente: si en equilibrio estático tenemos el principio de mínima energía potencial, entonces para el “equilibrio dinámico” nos inventamos otra cosa que es la acción cuya variación es nula para las “trayectorias del equilibrio” (similar a como $latex \delta V=0$ para los puntos del equilibrio normalmente).

2. Demostración de las ecuaciones de Euler-Lagrange

Vamos a variar la trayectoria en la acción de manera infinitesimal, $latex x(t)\to x(t)+\epsilon \eta(x)$ donde imponemos que NO CAMBIE en los tiempos entre los cuales integramos, es decir $latex \eta (x(t_1))=0$, $latex \eta (x(t_2))=0$. Entonces la variación de $latex S$ bajo esta variación de $latex x(t)$ es, teniendo en cuenta que $latex \delta v = \delta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \delta x$ (como $latex \delta x = \epsilon \eta(x(t))$, la dependencia con el tiempo está en la $latex \eta$ y no en el $latex \epsilon$, luego es directo ver que se cumple la identidad):

$latex \delta S =  \int_{t_1}^{t_2} \delta \mathcal{L}(x(t),v(t))\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \delta x + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \delta v\right]\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \eta(x(t)) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\eta (x(t))\right]\,\mathrm{d}t $

Ahora sumaremos y restaremos un término para usar la regla del producto y deshacer la derivada de la variación de la posición:

$latex \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \eta + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\eta  + \eta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}-\eta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \right]\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}\eta  -\eta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}  + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \eta\right)\right]\,\mathrm{d}t = $

$latex = \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \eta \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}\right] \,\mathrm{d}t  + \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \eta \right)\right]\,\mathrm{d}t =$

$latex =  \int_{t_1}^{t_2} \epsilon \eta \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}\right] \,\mathrm{d}t  + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \eta(x(t_1))-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \eta(x(t_2)) $

Por las condiciones que dijimos al principio el segundo término se anula. Si imponemos que la acción sea mínima o máxima se debe cumplir $latex \delta S = 0$ para cualquier variación que metamos $latex \eta (x(t))$, luego esto implica que

$latex \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}=0$

que es la ecuación de Euler-Lagrange.