Movimiento armónico simple

Siguiendo con la serie de artículos sobre el temario de 2º de Bachillerato hoy os traemos la física del movimiento armónico simple.

Este movimiento se caracteriza por ser un movimiento ideal y periódico (que se repite cada cierto periodo de tiempo o ciclo) que suele utilizar para describir las fuerzas recuperadoras (como la fuerza elástica) suponiendo que no existen pérdidas por fricción ni de ningún otro tipo. En este tipo de movimiento se supone que la posición varía en el tiempo según una función sinusoidal (seno o coseno) y se denomina “simple” porque su movimiento se puede describir con una única función de este tipo. Los elásticos unidos a una masa y los péndulos que se mueven con un ángulo suficientemente pequeño.

La ecuación que describe un movimiento armónico simple tiene típicamente la siguiente expresión:

x(t)=A cos(ωt-∅)

o también

x(t)=A sin(ωt-∅)

Las ecuaciones anteriores están definidas con respecto a la posición x=0. Es decir, este es el punto con respecto al que oscilará el sistema. Cuando nuestro sistema esté en reposo y la energía total (cinética más potencial) sea nula, la posición en la que se encontrará nuestro sistema será el punto x=0. Este valor se puede modificar añadiéndole un término que representará la posición inicial de nuestro sistema, x0 :

x(t)=A cos(ωt-∅) + x0

o también

x(t)=A sin(ωt-∅) + x0

Figura 1. Ejemplo de un movimiento armónico simple en un muelle unido a una masa y un péndulo.

Pasamos a definir los parámetros utilizados en la ecuación:

Amplitud  A

La amplitud es el máximo desplazamiento posible desde el punto de equilibrio. Como el coseno y el seno varían entre -1 y 1, la posición variará entre -A y A. La distancia total que va a ser capaz de recorrer nuestro sistema será 2A.

Fase

La fase es todo aquello que se encuentra en el  argumento de la función trigonométrica, es decir lo que está entre los corchetes. Su valor nos indica la posición de la masa que describe el movimiento para cada tiempo t.

Frecuencia f

El movimiento armónico simple se caracteriza por ser un movimiento oscilatorio que se repite indefinidamente. Es similar a un columpio en el que nos balanceamos, hacia delante y hacia atrás. Por ello, al ser un movimiento periódico, podemos calcular el tiempo que tarda en realizar un ciclo (por ejemplo en un columpio, el momento en que llegamos de nuevo a la posición de la que nos hemos lanzado para darnos impulso) o también cuantos ciclos completamos en una unidad de tiempo concreta. Esto último es la frecuencia. Por cómo se define, su unidad es la inversa del tiempo. En el sistema internacional esta unidad es 1/s, que también se escribe como hercio Hz.

Frecuencia ω

Habitualmente utilizamos la frecuencia expresada en radianes. Por ello, la expresión de la frecuencia expresada en estas unidades queda:

ω=2πf

Periodo T

El periodo es el tiempo que tarda el sistema en hacer un ciclo completo. Se relaciona con la frecuencia, pues es su definición inversa. Tiene unidades de tiempo. La  relación entre ambas variables es la siguiente.

T=1/f=2π/ω

Desfase

El desfase o fase inicial es una constante que al igual que la posición inicial nos indica la fase que tenía el sistema en el momento de inicio del movimiento. Para t=0, toda la fase del movimiento es únicamente la fase inicial.

Conservación de la energía

Para entender con más claridad lo que sucede podemos hacer un estudio de cómo varía la energía dependiendo de la posición de nuestra masa.

Figura 2. Energía cinética, potencial y mecánica. Imagen extraída de Wikimedia Commons.

Energía cinética

La energía cinética variará a lo largo del espacio, siendo máxima en el punto de equilibrio (0 o x0  según el caso). Para visualizarlo pensemos en cuando nos columpiamos en el parque. El momento en el que tenemos la mayor velocidad es cuando pasamos por debajo del poste del columpio. Como la energía cinética se describe con la velocidad de la siguiente forma:

Ec=1/2 m v2

La energía cinética será máxima también en este mismo punto y la energía potencial será mínima en este mismo punto.

 

Energía potencial

La energía potencial será máxima en los extremos del movimiento. Es decir, en nuestro equivalente del columpio sería cuando lleguemos lo más arriba posible al columpiarnos. La forma de la energía potencial es:

Ep=1/2 k x2

Donde k es la constante recuperadora de la fuerza.

Energía mecánica o total

La energía mecánica es constante, pues siempre se conserva. Será la suma de la energía cinética y potencial en cada punto.

ET=Ep+Ec

 

Tips para saber si nuestros cálculos son correctos

  • Revisar que las dimensiones dentro de la fase se anulen quedando únicamente radianes o grados.
  • Que la amplitud tenga unidades de distancia.
  • Que la distancia máxima del movimiento  sea dos veces la amplitud.
  • La suma de la energía potencial y cinética nunca puede ser mayor que la energía total en ese punto. Las energías potencial y cinética tampoco pueden superar este valor.
  • La energía total debe ser constante.

 

 

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