¿Por qué vuelan los aviones?

Antonio Gañan Mora, miembro de NUSGREM y estudiante de tercero de Física en la Universidad Autónoma de Madrid, nos trae este interesantísimo artículo sobre algo que nos preguntamos muchos de nosotros en vacaciones: cómo se sostiene un avión en el aire.

Una pregunta tan simple resulta tener una respuesta compleja, y no es para menos, la física de los fluidos es una rama muy compleja de la física clásica por dos motivos:

• Por la propia complejidad de los fenómenos que ocurren en los fluidos, donde se hace necesario incorporar conocimientos de mecánica, termodinámica, química, etc, junto con conceptos propios de fluidos para poder explicar los sucesos: no se descubrió por qué vuelan los aviones hasta principios del siglo pasado, ¡la teoría de la relatividad y la teoría clásica de alas se realizaron casi simultáneamente! [1].
• Por la dificultad de modelizar y, en especial, resolver los modelos matemáticos que describen los sucesos. Por ejemplo, no se ha podido demostrar, o contradecir, que existen soluciones “suaves” para las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D (estas ecuaciones son el equivalente en fluidos de las ecuaciones de Newton de mecánica). Es uno de los problemas matemáticos del milenio, con un premio de un millón de dólares para quien lo resuelva [2].

Por tanto, sobra decir que este texto solo pretende dar una breve introducción al tema y que ni yo mismo soy experto en el mismo, pero, desde luego, es mejor tener una idea de por qué vuela un avión y por qué es tan difícil enfrentarse a este problema.

Nota: aunque en principio este texto vaya dirigido tanto a un público con conocimientos muy básicos como avanzados de matemáticas y física, hay partes donde aparecen conceptos complejos y es posible que te puedas perder. Es normal, estas partes van dirigidas a gente que ya conoce temas de matemáticas y física para que puedan profundizar o ver estos aspectos de otra manera.

Por qué NO vuelan los aviones.

Cuando se busca esta pregunta en internet se suelen encontrar explicaciones incompletas. Me centraré en una de ellas como excusa para introducir algunos conceptos de fluidos que usaremos más adelante.

Habitualmente se dice que las alas de los aviones generan un lift, fuerza para arriba, debido a que el aire va más deprisa en la parte superior del ala que en la inferior y por Bernoulli existe una diferencia de presión (los cuerpos se mueven de donde hay más presión a donde hay menos) haciendo que suba el avión.

El teorema de Bernoulli es la expresión matemática de la conservación de la energía a lo largo de una línea de flujo para un fluido irrotacional (que no tiene vórtices) y no viscoso:

p/ρ+1/2 ·u²=cte

(versión simplificada del teorema [3]) con p la presión,  la densidad y u la velocidad del fluido. Vemos que si u aumenta p debe disminuir para que siga siendo constante (cte).

A pesar de que parece una explicación razonable lleva implícito que la velocidad tiene que ser mayor en la parte superior del ala del avión (¿por qué debería ser así?) además de numerosas suposiciones como que el aire no tiene viscosidad o es despreciable (fluido ideal).

Observaciones experimentales.

Lo que siempre debe guiar a un científico al realizar sus teorías son las observaciones experimentales y, a partir de estas, construir un marco teórico que sea capaz de explicarlas y predecir otras observaciones.

Los físicos, matemáticos e ingenieros dedicados a diseñar los primeros aviones y alas vieron los siguientes hechos experimentales:

• Efectivamente, el aire por la parte superior del ala de un avión va a una velocidad mayor que el aire por la parte inferior, como se puede ver en este vídeo: https://youtu.be/6UlsArvbTeo?t=17s
• En la punta trasera del ala o de cualquier cuerpo con la parte trasera en forma de punta se produce la llamada condición de Kutta, descubierta y fotografiada por Wilhelm Kutta en 1902 (el mismo de los métodos Runge-Kutta en computación científica). En la Fig. 1 se puede comprobar esta condición, por la cual el flujo de la parte superior y el de la parte inferior salen paralelos, pero no con la misma velocidad como hemos visto en el punto anterior (en el vídeo anterior se puede ver también esta condición).
• Al comenzar a moverse el ala se crea un vórtice, el vórtice inicial. Esto se puede apreciar en la siguiente simulación https://youtu.be/bvV7-9wAXc0?t=28s o bien mediante un pequeño experimento que te propongo a continuación: toma un recipiente grande de agua, deja que se calme el agua y mueve una regla rápidamente de tal manera que la regla permanezca casi paralela a ti pero con un pequeño ángulo (muy pequeño, si la giras demasiado verás dos vórtices en lugar de uno, fíjate cómo está el ala en los vídeos anteriores por si tienes dudas de cómo colocarla). Si todo sale bien deberías poder ver el vórtice inicial como en la Fig. 2 (extra: ¿Qué pasa cuando frenas de golpe la regla? ¿Y si lo haces con un plato en lugar de una regla en una piscina como en este vídeo https://www.youtube.com/watch?v=pnbJEg9r1o8 ?).

Modelización teórica.

Habiendo visto los anteriores hechos experimentales, vamos a tratar de crear un modelo matemático que nos permita explicarlos. En primer lugar, manejar las ecuaciones de Navier-Stokes es muy complicado y no permite extraer información a no ser que se realice una simulación a ordenador (ni Kutta ni Joukowski tenían ordenadores).  A pesar de ser unas ecuaciones que permiten resolver cualquier configuración con fluidos, no nos aportan información porque son difíciles de resolver. Así que comencemos a realizar aproximaciones. Saber qué aproximar o qué no es prácticamente un arte por sí solo: se pierde información o precisión, pero permite resolver problemas que antes eran irresolubles y comprender de manera cualitativa (y no solo cuantitativa como en una simulación) el fenómeno.

El aire, donde suelen volar los aviones, es muy poco viscoso. De hecho, su viscosidad en comparación, por ejemplo, con la miel es casi imperceptible. La teoría de la capa límite asegura que los efectos viscosos para flujos con números de Reynolds altos se encuentran encerrados en una región muy pequeña en las superficies de los cuerpos. En la frase anterior hay muchos conceptos, así que vamos a analizarlos uno a uno y las implicaciones que conllevan.

En primer lugar, el número de Reynolds es un número adimensional que muestra cómo de fuertes son los efectos viscosos en un sistema (entre otras cosas). Está claro que si la viscosidad es muy grande el sistema es viscoso, y el número de Reynolds nos debe informar de este hecho: Reynolds estará alrededor de la unidad o menor; en cambio, si es poco viscoso el fluido, Reynolds nos dará un valor mayor a mil. Fíjate que hay una diferencia entre estos dos regímenes, viscoso y poco viscoso, de unos tres órdenes de magnitud. Matemáticamente, el número de Reynolds se define como:

Re= (u⋅D)/ν

con u la velocidad del fluido, D una longitud característica del cuerpo y ν la viscosidad. Comprueba que si la velocidad o el tamaño del cuerpo (en nuestro caso, el avión) es grande, Reynolds nos dará un número grande; y si la velocidad o el tamaño son pequeños, nos dará un número de Reynolds pequeño.

Antes de seguir hablando sobre alas de avión vamos a detenernos un momento en el número de Reynolds. El hecho de que sea una cantidad adimensional (sin unidades) nos permite comparar cantidades. Las unidades son arbitrarias, son convenios acordados por los científicos para medir cantidades físicas, no surgen de manera natural. ¿Por qué usamos metros y no radios atómicos para medir distancias? Simplemente porque un metro te lo puedes imaginar, es del orden de tu estatura, pero un radio atómico es difícilmente imaginable. Por este motivo, para comparar dos cantidades se deben emplear números adimensionales, de tal modo que se cancelan todas las arbitrariedades que hemos incluido en las unidades al cancelarse estas y quedar sin ellas.

Uno puede definir número adimensionales como quiera, pero no todos sirven para comparar. El cómo crear estas cantidades adimensionales de manera correcta está fuera del alcance de este texto, por tanto, asumamos que Reynolds hizo un buen trabajo al definir su número. No obstante, como guía para construir estos números, se suelen emplear cocientes entre energías, fuerzas, etc. que son importantes en el sistema y que determinan su comportamiento. Un último comentario sobre el número de Reynolds: podemos jugar con las tres variables que contiene para que nos dé el mismo número de Reynolds. Es decir, con distintos valores de u, D y ν podemos obtener el mismo número de Reynolds, lo cual nos dice que la física del sistema, y por tanto las ecuaciones de la física, son las mismas, al ser el mismo número, y el sistema continúa siendo viscoso o poco viscoso. Gracias a esto no es necesario tener que crear túneles de viento enormes para que entren aviones, sino hacer modelos a escala de un avión pero variando algún parámetro del número de Reynolds para compensar.

En segundo lugar, como todos los fluidos tienen viscosidad (salvo que tengas algún superfluido por casa como el Helio-3) deben satisfacer una condición que se puede comprobar experimentalmente: el fluido no desliza por la superficie de los cuerpos, esto es, tiene velocidad cero justo en la superficie. Esta superficie también recibe el nombre de frontera o contorno si estás resolviendo un sistema de ecuaciones en derivadas parciales como el que estamos evitando resolver.

Por otro lado, la capa límite es la región en la cual la velocidad del fluido se ve afectada por una superficie. En el caso de un avión en reposo en un túnel de viento, la capa límite es la región en la cual la velocidad del fluido pasa de ser cero, por estar en reposo el avión y satisfacer la condición de no deslizamiento, a ser la velocidad que lleve el viento que sale del túnel. En el caso de un avión volando se cambian los papeles, la velocidad pasa de ser la del avión a ser cero por estar el aire en reposo en zonas un poco más alejadas. En la Fig. 3 se pueden ver los efectos de la superficie en el fluido que lleva velocidad u₀ antes de tocar la superficie.

La capa límite en número de Reynolds alto, que corresponde a un flujo poco viscoso, es muy pequeña, del orden de milímetros, mientras que en flujos viscosos aumenta la extensión de la capa porque aumenta la constante de viscosidad. En el interior de la capa límite existen efectos viscosos notables, ya que la viscosidad es proporcional a la diferencia de velocidad entre dos puntos. En nuestro caso, la diferencia de velocidades entre la de la superficie y la del fluido fuera de la capa, u₀. Fuera de esta capa los efectos viscosos son despreciables porque la velocidad es prácticamente u₀ y no hay diferencia de velocidades. Puedes comprobar la existencia de la capa límite si dejas polvo muy pequeño esparcido en el capó de un coche, conduces a cualquier velocidad y compruebas que ahí sigue el polvo debido a que la velocidad es casi la misma que la del coche y no se separan.

Parece que es seguro despreciar la viscosidad, los efectos son muy pequeños fuera de la capa límite. Si se desprecia la viscosidad de las ecuaciones de Navier-Stokes se obtienen las de Euler, de las cuales se pueden deducir los teoremas de Bernoulli, vistos anteriormente en forma reducida, y otro teorema muy interesante para nuestro caso, el teorema de Kelvin de la circulación, ambos ya conocidos a principios del siglo XX. El teorema de Kelvin de la circulación dice que la circulación a lo largo de un contorno cerrado se mantiene constante en un fluido sin viscosidad, que, traducido en términos más cercanos, quiere decir que la suma de vórtices (o resta si giran en sentidos contrarios) que vemos debe mantenerse constante en cualquier instante. Experimentalmente hemos visto que aparecían vórtices, así que cualquier teorema que nos hable de ellos puede ser útil.

Nota: desde aquí hasta la siguiente sección las cosas se ponen más matemáticas. Puedes ver este vídeo https://www.youtube.com/watch?v=rB83DpBJQsE donde se introducen algunos conceptos de cálculo de varias variables con aplicaciones a fluidos. En el propio vídeo se dice que saldrá otro sobre derivadas complejas, donde tratará temas de alas.

Sin embargo, el arma más poderosa que nos da la aproximación de fluidos sin viscosidad son los flujos potenciales. Si suponemos un flujo irrotacional y sin viscosidad obtenemos un potencial ϕ asociado al fluido que satisface la ecuación de Laplace:

∇² ϕ=(∂² ϕ)/(∂x² )+(∂² ϕ)/(∂y² )=0

ecuación que no te dirá nada a no ser que sepas de cálculo de varias variables. Explicar en unas pocas líneas los conceptos de potencial y de la ecuación de Laplace es complicado, en especial si no has dado al menos física y matemáticas de segundo de bachillerato.

Un potencial asocia un número a cada punto del espacio. Derivando el potencial o, mejor dicho, tomando el gradiente, obtienes un campo vectorial, que asocia a cada punto del espacio un vector, en nuestro caso el vector velocidad. Para los que sepan de electromagnetismo verán que esta situación equivalente al potencial V (los voltios de las pilas) y el campo (vectorial) eléctrico E, que es la derivada o gradiente del potencial. Lo mismo se aplica a campos gravitatorios, transmisión de calor, difusión, conducción eléctrica… ¡La ecuación de Laplace está en muchos sitios! Que una ecuación describa tantos fenómenos es bueno: con conocer cómo funciona uno de ellos comprendemos el resto, puesto que se rigen por las mismas leyes.

El operador laplaciano se define como la divergencia del gradiente, pero como el campo es el gradiente del potencial, es equivalente a decir que la ecuación de Laplace es la divergencia del campo (laplaciano(ϕ) = div(grad(ϕ)) = div(E) ) :

∇ ⃗⋅E ⃗=0

y la divergencia sí que tiene un significado sencillo de entender, te da las fuentes o sumideros de los campos. Y que la divergencia de un campo sea cero quiere decir que en nuestra región de interés no hay nada que cree campos: campo eléctrico, velocidades… Por cierto, si hablamos de campos eléctricos y en la ecuación anterior añades una fuente de campo eléctrico, es decir cargas eléctricas positivas o negativas, y lo expresas de tal manera que las unidades sean iguales (con densidad de carga, ρ, en lugar de cargas y una constante con unidades, ε₀) obtienes la primera ley de Maxwell o ecuación de Gauss: ∇ ⃗⋅E ⃗=ρ/ε₀. Si sabes de fluidos sabes de electromagnetismo.

Y no acaba aquí la utilidad de la ecuación de Laplace, hasta a los matemáticos les resulta útil. En análisis complejo, el área de las matemáticas que estudia funciones, derivadas, integrales y series con números complejos, hay una propiedad que deben satisfacer las funciones “suaves”, esto es, las que no tienen puntos donde se va a infinito, no hacen formas raras, etc. De hecho, las funciones complejas más habituales, como la exponencial, polinomios, etc. son suaves. La condición que satisfacen son las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que relaciona las derivadas de las partes reales e imaginarias en las que se puede dividir una función compleja. Para los que hayan dado álgebra lineal, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden expresar de forma parecida a una matriz de giro en un plano más una expansión, lo que indica lo profundamente relacionado que están los números complejos con los giros y las derivadas con las expansiones. De ahí que, para los que sepan de circuitos de corriente alterna, se usen fasores en notación compleja para resolver circuitos, que son una cantidad del circuito (corriente, voltaje…) y el ángulo de desfase que lleva. Se puede demostrar que la parte real e imaginaria que forman las funciones complejas suaves satisfacen la ecuación de Laplace, ¡vuelve a aparecer la ecuación de Laplace! Las funciones que cumplen esta propiedad se llaman armónicas y comprenderlas desde un punto de vista matemático permite tener más rigurosidad a la hora de emplearlas en física e ingeniería y obtener propiedades generales de los potenciales y campos.

Al igual que en campos eléctricos tenemos campos uniformes (en un condensador, por ejemplo), fuentes (una carga), sumideros (una carga negativa), dipolos (una positiva y una negativa muy próximas), etc. en fluidos también tenemos el respectivo equivalente, porque estos cumplen la ecuación de Laplace. De hecho, si sumas el flujo producido por un flujo uniforme más el de un dipolo consigues simular el flujo alrededor de un cilindro, que cumple la condición en la superficie, o contorno, de que el flujo no atraviesa el cilindro: pon una botella en vertical en un río, el flujo uniforme, y verás que no se llena, no entra agua, este es el significado la condición de contorno (ver Fig. 4).

Para los quepiensen que nos hemos sacado la solución del flujo alrededor de un cilindro de la nada podemos aclarar que existe una manera más rigurosa de resolver la ecuación de Laplace: el método de las imágenes. Este consiste en colocar en el infinito o en regiones donde no hemos definido el problema flujos de tal manera que satisfagan las condiciones de contorno. En el caso del cilindro, en el interior de este. Solo nos importa lo que ocurra en el exterior, porque lo que ocurre en el interior es conocido, no hay flujo porque no entra fluido. Esto viene respaldado por un teorema matemático de unicidad de las soluciones, que dice que si hemos encontrado una solución a nuestro problema es LA solución, no hay más [4]. Es más, existe otro teorema, el teorema del círculo de Milne-Thomson, que nos proporciona una fórmula para obtener soluciones de flujos cuando se coloca un cilindro en ellos. Aún más formal es la solución de la ecuación de Laplace mediante métodos de resolución de ecuaciones en derivadas parciales (separación de variables, polinomios de Legendre o armónicos esféricos), pero no tienen tanta física detrás y va mucho más allá de este texto.

Ahora vamos a usar una herramienta muy útil del análisis complejo, las transformaciones conformes. Al aplicar estas transformaciones te permiten pasar de resolver, por ejemplo, el campo eléctrico de un condensador de placas planas a un condensador de placas cilíndricas, o de pasar de resolver el flujo alrededor de un cilindro a pasar a resolverlo a través de una placa plana o a través de un ala (la placa se parece a un ala, no tan aerodinámica, pero más sencilla de operar con ella).

Por tanto, si sabemos cómo es el flujo ante un obstáculo simple, como el de un cilindro, podemos aplicar una transformación conforme al cilindro y a la solución del flujo para transformarlo en un ala y el flujo a través de un ala. El flujo a través de un cilindro lo conocemos, resulta ser el de la suma del flujo de un dipolo más un flujo uniforme como vimos antes. Aplicamos la transformación conforme para un ala y obtenemos finalmente nuestra solución: ¡el ala no vuela! Es decir, no hay fuerzas actuando sobre el ala del avión.

Pensarás ¡vaya timo!, tanto esfuerzo en resolverlo para que no vuele. Pues sí, a los científicos tampoco les gustó demasiado. De hecho, le pusieron hasta un nombre: la paradoja de D’Alembert, que dice que un cuerpo cualquiera moviéndose en un flujo irrotacional y sin viscosidad no sufre fuerzas, ni de rozamiento ni de lift. Evidentemente es falso, por tanto, nuestra teoría tiene algún error. Antes de nada, vamos a comprobar de alguna otra forma que la conclusión a la que hemos llegado es correcta para así estar completamente seguros.

Sabemos que en flujos ideales podemos aplicar la ecuación de Bernoulli. En la Fig. 4 podemos ver que las líneas de flujo son simétricas, la mitad superior e inferior de la imagen son iguales (recuerda que cuanto más juntas están las líneas quiere decir que mayor es la velocidad, en este caso en ambas mitades están distribuidas exactamente de igual manera). Dado que las velocidades arriba y abajo del cilindro son iguales no esperamos que haya ninguna diferencia de presión aplicando el teorema de Bernoulli y si no hay diferencias de presión no hay fuerza neta, luego no sube. Lo mismo se puede decir de las mitades izquierda y derecha, son iguales, así que no hay fuerzas de rozamiento que arrastren al cilindro. Solo conseguimos que haya fuerzas de rozamiento, contrarias al movimiento del cuerpo, y de lift, perpendicular al movimiento del cuerpo, si rompemos esas simetrías. De nuevo comprobamos que nuestro modelo no es correcto.

Ahora tenemos dos opciones. O bien volver a la temida ecuación de Navier-Stokes o tratar de apañar lo que hemos hecho hasta ahora. Como buenos físicos optamos por lo segundo.

Modelización teórica (ahora sí volamos).

Como nos hemos quedado atascados, vamos a enfocar el problema desde otra perspectiva. Recapitulando, por si te has perdido entre tantas matemáticas. La solución que hemos obtenido nos dice que un cilindro, o cualquier cuerpo, no sufre ni rozamiento ni lift al moverse en un fluido sin viscosidad. La experiencia nos dice que sufre rozamiento o arrastre. Por ejemplo, si lanzamos un balón en un río contracorriente se frenará y se lo llevará la corriente, pero no vemos que comience a volar. En cambio, si alguna vez has hecho deporte, en particular fútbol o tenis de mesa, verás que, si lanzas el balón o la pelota girando, además de frenarse por el rozamiento, sufre una fuerza perpendicular a su dirección. Si no ves a que me refiero mira el inicio de este vídeo https://www.youtube.com/watch?v=2OSrvzNW9FE . Es el efecto Magnus. Como existe la condición de no deslizamiento, el aire justo alrededor del balón lleva la velocidad de traslación del balón más la velocidad de giro del balón, que en un lado de este se sumará con la primera velocidad y en otros casos se restará creando una diferencia de velocidades y aplicando el teorema de Bernoulli conseguimos una diferencia de presión y, por tanto, una fuerza perpendicular.

Sin embargo, estarás pensando, que las alas del avión no giran. Es así, pero recuerda que nuestra tercera observación experimental decía que se creaba un vórtice cuando empezaba a moverse el ala. Inicialmente no teníamos vórtices y aplicando el teorema de la circulación de Kelvin la suma de vórtices debe conservarse en un fluido no viscoso, por lo tanto, debe aparecer alrededor del ala otro vórtice con sentido contrario para cancelar el inicial. Dicho de manera más técnica, el ala tiene circulación, que es lo que se conserva según el teorema, pero aquí lo identificamos con vórtices por simplicidad. Este vórtice o circulación es equivalente a tener el giro de la pelota del vídeo, en un lado el vórtice y la velocidad del ala serán paralelos y se sumarán; en el otro se restarán. Y de nuevo, invocando a Bernoulli otra vez más, hay una fuerza neta hacia arriba. ¡Hemos conseguido volar! En la Fig. 5 se puede ver la comparación entre el flujo alrededor de un ala de avión en movimiento según la teoría del flujo potencial (la que daba malos resultados) y la misma teoría añadiendo una circulación, pero no una circulación arbitraria, sino una que satisfaga la condición de Kutta. Compara las líneas de flujo del vídeo de la tercera observación experimental con las líneas de flujo con circulación, son prácticamente idénticas.

Por último, solo nos queda un pequeño detalle, explicar el origen del vórtice inicial. Lo curioso es que el origen del vórtice inicial es puramente viscoso, pero es un poco complejo de explicar [6]. De igual manera, las fuerzas de rozamiento o arrastre se pueden explicar mediante viscosidad y teoría capa límite [7].

Conclusiones.

Para explicar cómo vuela un avión hemos visto experimentalmente que uno de los principales factores en la creación de lift es un vórtice de origen viscoso y para modelizar hemos usado una teoría que supone al aire como un fluido no viscoso, irrotacional e incompresible. Todas las suposiciones son falsas. Pero hemos conseguido entender cómo vuela un avión y, de hecho, si consultas las ecuaciones más en detalle y las comparas con datos experimentales verás que son razonablemente correctas.

Es común pensar que las ingenierías y la física son ciencias exactas en el sentido de que las respuestas que dan no tienen ningún error, pero hemos comprobado con este ejemplo que no es así. Si hemos explicado por qué vuela un avión es porque cualitativamente hemos entendido el proceso de volar, hemos identificado los factores principales por los cuales se genera lift y, a partir de ahí, hemos ido desarrollando modelos matemáticos donde hemos despreciado aquellos factores no relevantes y viendo cómo se relacionan las distintas variables del sistema y tratando de simplificar todo lo posible las expresiones, dejando solo lo esencial. Una vez tengamos un modelo razonablemente correcto podemos mejorarlo e incluir efectos que no se han tenido en cuenta.

Ahora, cuando vuelvas a montar en avión, piensa en toda la ciencia que hay detrás y lo complicado que es volar.

Notas y referencias.

[1] El famoso paper de Einstein On the Electrodynamics of moving bodies fue publicado en 1905 mientras que los primeros trabajos teóricos más importantes en alas se hicieron entre 1894 (Lanchester) y 1906 (Joukowski, teorema del lift).

[2] http://claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation . Aunque no sepas las suficientes matemáticas, te recomiendo que busques imágenes de las ecuaciones, por sí solas ya asustan.

[3] Una discusión más extensa sobre el teorema de Bernoulli pero accesible se encuentra en https://www.quora.com/What-is-Bernoullis-theorem-6 (revisado 19/06/18).

[4] En algunos casos podemos encontrar más de una solución, como en el flujo alrededor de una placa, pero como experimentalmente solo se ve una solución, la condición de Kutta elige dicha solución. En definitiva, un teorema riguroso de existencia y unicidad de soluciones se deja como demostración a los matemáticos.

[5] En la página https://anvaka.github.io/fieldplay/ se pueden graficar campos vectoriales. Si borras el código que viene y pegas:

// p.x and p.y are current coordinates

// v.x and v.y is a velocity at point p

vec2 get_velocity(vec2 p) {

  vec2 v = vec2(0., 0.);

  // change this to get a new vector field

  float uniformFlow_x = 1.0;

  float uniformFlow_y = 0.0;

  float dipole_x = (p.x*p.x – p.y*p.y)/((p.x*p.x+ p.y*p.y)*(p.x*p.x+ p.y*p.y));

  float dipole_y = 2.0*p.x*p.y/((p.x*p.x+ p.y*p.y)*(p.x*p.x+ p.y*p.y));

  v.x = uniformFlow_x – dipole_x;

  v.y = uniformFlow_y – dipole_y;

  return v;

}

Podrás ver el flujo alrededor de un cilindro. Observa cómo se intuye el contorno circular del cilindro y cómo se ve el dipolo en el interior de este, contrarrestando el flujo uniforme.

[6] Para una discusión del origen del vórtice inicial ver Fluid Mechanics, P. Kundu, I. Kohen, 3rd Ed., pp. 660-662.

[7] Generalmente el rozamiento se debe a la condición de no deslizamiento que frena en la superficie el fluido y por el desprendimiento de la capa límite, como se puede ver aquí https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/dragsphere.html . Observa cómo dependen las líneas de flujo según el número de Reynolds. Para algunos números se forman los vórtices de von Karman, que si buscas imágenes en internet verás que se forman estos mismos vórtices cuando las nubes pasan alrededor de islas (las cuales son aproximadamente son cilindros).