Sistemas caóticos y teoría del caos, una breve introducción

¿Qué es realmente el caos? Al menos la definición física de la palabra. Casi todos hemos oído hablar alguna vez de la frase “el aleteo de una mariposa puede provocar un huracán en el otro lado del mundo”, y ciertamente es una teoría con múltiples aplicaciones, como la meteorología. Pero, ¿entendemos qué significa?

Este artículo sobre la teoría del caos nos lo manda Ester García Baez, estudiante de Física y miembro de la delegación de la Universidad Autónoma de Madrid

Las tres características principales que cumplen los sistemas caóticos son: la no-linealidad, la extrema sensibilidad que poseen ante cambios muy pequeños de sus condiciones iniciales y que no se puede prever el comportamiento del sistema hasta que el proceso sucede o se calcula. A pesar de este comportamiento impredecible, el sistema es determinista. Es decir, para unos parámetros dados, el sistema está completamente  determinado para tiempos futuros, por muchas veces que lo volvamos a calcular o repetir. Eso sí, si cambiamos mínimamente alguno de los parámetros, podremos encontrarnos con una sorpresa: un resultado final muy diferente al original.

Figura 1.1
Figura 1.2

Figura 1. Representación de uno de los parámetros de las ecuaciones de Lorenz utilizadas para estudiar los fluidos y fenómenos meteorológicos para dos condiciones iniciales distintas. Es un ejemplo de sistema caótico en el que se observa como sus parámetros muestran comportamientos impredecibles a lo largo del tiempo que no se repiten. Además, el comportamiento del sistema es diferente dependiendo de los valores de las condiciones iniciales de los parámetros.

Comencemos explicando a qué nos referimos con que un sistema es no lineal. Un sistema es lineal cuando la ecuación o ecuaciones que cumple están relacionadas tan solo con variables de potencia igual a la unidad. Un ejemplo de sistema lineal es el oscilador armónico amortiguado:

Donde b es la constante de amortiguamiento y k la constante elástica del sistema. Podemos reescribir el sistema definiendo dos nuevas variables, x1=x y x2=x. Por tanto, x1=x2 y nos queda un sistema de ecuaciones tal que:

Ya que por definición:

Este sistema es lineal, puesto que todas sus variables aparecen como mucho elevadas a la primera potencia. Si esto no se cumple, es decir existen términos formados por productos entre variables, funciones trigonométricas, potencias de mayor orden…, se dice que el sistema es no-lineal. Este sería el caso de la ecuación de movimiento de un péndulo:

El sistema equivalente al hacer los cambios de variable es no lineal y queda como:

Este sistema es muy complicado de resolver analíticamente precisamente por su no linealidad. Para resolverlo se suele pedir al sistema que las oscilaciones sean pequeñas (x1≪1) de forma que se pueda aproximar sin x1≈x1 y el sistema pase a ser lineal. Pero al utilizar esta aproximación estamos desechando todos los resultados que vayan más allá de esta solución particular.

¿A qué nos referimos con que es difícil predecir el comportamiento del sistema, ya sea por modificaciones en las condiciones iniciales o a que simplemente no sepamos cómo va a evolucionar con el tiempo? A medida que añadimos variables, se convierte cada vez más difícil predecir los resultados de un sistema, puesto que posee cada vez más grados de libertad. Además, si cambiamos ligeramente los parámetros obtenemos resultados muy diferentes que no se repiten en el tiempo, ya que un mínimo cambio en una de las variables puede afectar mucho al comportamiento de otra de las variables. Esto es lo que produce esa incertidumbre para predecir los resultados en este tipo de sistemas.

Además, existen sistemas que según el valor de los parámetros que posean pasan de un comportamiento predecible a un comportamiento caótico sin motivo aparente, como es el caso del péndulo físico, un péndulo al que añadimos, además del amortiguamiento, una fuerza impulsora con una cierta amplitud y fase.

Siendo g la aceleración gravitatoria,l la longitud del péndulo y q la constante de rozamiento.

Pendulo clásico
Pendulo caótico

Figura 2. Ejemplo del comportamiento del péndulo físico ante la variación de la amplitud de la fuerza impulsora, desde un valor de 0.5 a 1.2.  En el caso de fuerza impulsora más pequeña el sistema presenta oscilaciones periódicas, el comportamiento clásico de un péndulo simple. Para valores ligeramente mayores de amplitud el sistema deja de ser periódico. Se convierte en un sistema caótico para el que no se puede predecir su comportamiento a través del tiempo.

¿Y cómo estudiamos entonces estos sistemas, si son impredecibles ante cambios mínimos de los parámetros? Una de las formas de estudiarlos es a través de los atractores y secciones de Poincaré. Si estudiamos el comportamiento en el espacio de fases en vez de en el espacio real, los sistemas se vuelven más repetitivos e interpretables, un resultado al que denominamos atractor. Un ejemplo puede ser el obtenido a través de las ecuaciones de Lorenz (figura 1), del que podemos observar los atractores creados por sus variables en el espacio de fases (figura 3).

Representación del atractor sobre el plano
Atractor en espacio tridimensional

Figura 3. Atractor creado por las ecuaciones de Lorenz en el espacio de fases.

La sección de Poincaré también estudia el comportamiento en este espacio, pero representando únicamente los puntos para tiempos que son múltiplos de un periodo T que depende del sistema.

Sección de Pointcaré del péndulo físico.

Existen muchos ejemplos de sistemas caóticos, algunos de ellos son los atractores extraños de Lorenz (utilizados para estudiar el comportamiento de los fluidos de forma aproximada), los fractales, los circuitos RLC, el problema de los tres cuerpos… Y todos tienen en común un número de variables alto y ecuaciones no lineales que los describen.

Atractor Rösler
Representación de un atractor de Rössler

Figura 5. Atractor de Rösler, utilizado en el estudio de reacciones químicas.

Por sus interesantes características y su dificultad de estudio, el caos posee una gran cantidad de terreno abierto a la investigación. Como contempla gran parte de la realidad de nuestro mundo, está presente en numerosos campos, ya sea física, biología, ingeniería, química…

Y es que la vida no son solo dos o tres ecuaciones lineales, perfectas, simples. La vida es impredecible y complicada. La vida es caos.

Referencias:

“Nonlinear dynamics and Chaos, with applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering”, Steven H. Strogatz. Westview Press. 2000.

“Computational Physics”, Nicholas J. Giordano. Prentice Hall. 1997.

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