transformada de fourier

La transformada de Fourier y sus aplicaciones

Hoy os vamos a contar un “truquillo” que utilizamos los físicos para resolver algunos problemas matemáticos complicados y simplificarnos un poco la vida ¡La transformada de Fourier! No es exactamente un truco, ya que esto aparece de forma natural en diversas ramas de la física. Pero aquí os contaremos un poco qué es, en que consiste y por qué es tan útil.

Ester García Báez, estudiante de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro de NUSGREM, nos envía este nuevo artículo sobre la transformada de Fourier y la forma en la que esta cambia nuestra forma de entender otras funciones.

Normalmente cuando vamos a resolver y plantear un problema, definimos unas coordenadas espaciales. Podemos elegirlas de la forma que más nos interesa según la simetría de nuestro sistema para que nos  sea más fácil de resolver. Cartesianas, esféricas, cilíndricas… Pero en todos los casos planteamos nuestras ecuaciones según la distancia y el tiempo que transcurre. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico ideal unidimensional, escrita en coordenadas cartesianas:

 

Sin embargo, esta no es la única forma de plantear nuestro problema. Existe otro espacio en el cual podemos expresar nuestras ecuaciones de forma que, en algunos casos, acaban siendo más simples de resolver que en el de las coordenadas espaciales y temporales. Nos estamos refiriendo al espacio de los momentos y las frecuencias. El denominado espacio recíproco.

transformada de fourier

Este espacio se caracteriza por estar definido según el momento (el “inverso” de la posición) y de la frecuencia (el inverso temporal). Lo que definíamos en el espacio real (el de las coordenadas espacial y temporal) con vectores de posición se define en este mundo en función de vectores de momento. Este tipo de mundo tiene ciertas ventajas a la hora de estudiar algunos sistemas más complejos. Por ejemplo, en óptica es más interesante resolver algunos problemas según el momento y no la posición. O también a la hora de estudiar sistemas periódicos como los cristales, el pasar de unas coordenadas espaciales a unas de momentos definidas concretamente según la periodicidad de nuestro sistema nos puede facilitar mucho la vida.

¿Pero cómo pasamos de este mundo, definido por los momentos, al que estamos acostumbrados a utilizar? A través de la transformada de Fourier. Esta es el portal a través del cual podemos pasar de un mundo a otro “tan solo” haciendo una integral.

Matemáticamente podemos definir (muy por encima, puesto que es un tema bastante complicado) la transformada de Fourier como una forma de representar una función según una base de funciones completa y ortogonal sobre la cual podemos definir cualquier función sumando cada componente con un cierto coeficiente. Para poder obtener la transformada de Fourier de una función se debe cumplir que: primero, tanto la función como su transformada sean de cuadrado integrable. Es decir, que:

Puntualización matemática

Transformada directa (convenio espacial) (1)

Transformada inversa (convenio espacial) (2)

Transformada directa (convenio temporal) (3)

Transformada inversa (convenio espacial) (4)

Esto implica que si el valor absoluto de x tiende a infinito, tienda a cero, lo que se denomina condiciones tipo Dirichlet.

Y en segundo lugar, tanto como su transformada de Fourier deben ser funciones univaluadas y continuas a trozos. Si estas dos condiciones se cumplen, entonces podremos realizar la transformada de Fourier directa (desde coordenadas espaciales a las de momentos, o desde tiempos a frecuencias) y viceversa.

Y diréis: “vale, muy bonito, ¿pero de qué sirve todo esto más que para hacer integrales complicadas?”. Pues resulta que a veces ese tipo de integrales pueden ser soluciones más fáciles de encontrar para una ecuación diferencial que solo probar con funciones al azar. Normalmente cuando intentamos buscar la solución para una ecuación diferencial solemos suponer una función que intuimos que puede ser similar a la solución real e identificamos unos cuantos parámetros para que lo sea. Sin embargo, a veces no es nada trivial encontrar esa función de prueba que coincida ser la solución real de esa ecuación diferencial. Y aquí entra en juego la transformada de Fourier.

Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado:

Fórmula del oscilador armónico amortiguado general en notación simplificada.

Donde ϒ y son constantes. Podemos hacer la transformada de Fourier en el convenio temporal de forma que la ecuación diferencial nos queda:

Ya que conocemos que la transformada de Fourier de la derivada de una función x(t) es la transformada de la función por –iω. Entonces despejando (ω) de nuestra ecuación, llegamos a que la solución de nuestra ecuación diferencial (que se ha convertido en una ecuación algebraica) en el espacio de frecuencias es:

 

Y una vez que revirtamos el cambio haciendo la transformada de Fourier inversa a nuestra solución del espacio de frecuencias, obtendremos la solución analítica de nuestra ecuación diferencial en el espacio de tiempos, al aplicar (3) sobre este resultado, recuperando así x(t).

¿Os dais cuenta ahora de las importantes implicaciones que tiene este resultado? En el caso del oscilador armónico puede que no sea tan difícil suponer una solución prueba. Pero para ecuaciones diferenciales más complicadas esta técnica puede ser muy útil, ya que nos convierte una ecuación diferencial en una algebraica. Si somos capaces de revertir el cambio desde la transformada inversa mediante la integral a la función original obtendremos la solución de la ecuación.

Además de esta poderosa cualidad, la transformada de Fourier y el espacio recíproco tienen muchos usos según las ramas de la física. Una de ellas es la capacidad de separar una señal armónica compleja en diferentes amplitudes según la frecuencia. Esto es muy útil experimentalmente si queremos aislar una señal de cierta frecuencia, estudiar una señal no monocromática o simplemente quitarnos el ruido de una señal con una frecuencia dada.

En otros campos, como el de la mecánica cuántica, se puede expresar nuestras funciones de onda en coordenadas espaciales o momentos, y pasamos de unas a otras a través de esta transformada. De ella surge naturalmente el principio de incertidumbre de Heisemberg del momento y del espacio. Por ello, esta técnica es ampliamente utilizada en muchos sectores, de varias formas y con objetivos completamente distintos. Pero por lo mismo podemos decir que es una herramienta indispensable que debe conocer todo físico.

¡Así que no dudéis en estudiarla! Porque si la función de prueba exponencial que utilicéis no os da…

Mejor prevenir que curar.

Referencias

Métodos Matemáticos de la Física. Método de Fourier. Arkadi P. Levanyuk, Andrés Cano (con participación de Ramón Fernández-Ruiz). Colección de Estudios. UAM Ediciones.

Agradecimientos

Miguel Hernández del Valle, alumno de la Universidad Autónoma de Madrid, Grado en Física.

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