Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen la naturaleza de los campos eléctricos y magnéticos en el espacio y su relación con la materia. Estas ecuaciones son uno de los pilares fundamentales de la física electromagnética y han sido fundamentales para el desarrollo de la tecnología moderna.
James Clark Maxwell, quién da nombre a estas ecuaciones, fue un físico escocés del siglo XIX. Puedes aprender más sobre el en el articulo que hicimos aquí.
Las cuatro ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en su forma integral o diferencial. Aquí nos enfocaremos en su forma diferencial, que es la más útil para resolver problemas prácticos en la física y la ingeniería.
La primera ecuación de Maxwell, también conocida como la ley de Gauss, establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica contenida en esa superficie. Matemáticamente, esto se expresa como:
Donde [latex]\mathbf{E}[/latex] es el campo eléctrico, [latex]\rho[/latex] es la densidad de carga y $\epsilon_0$ es la constante dieléctrica del vacío. Esta ecuación nos dice que la carga eléctrica crea un campo eléctrico y que la carga es la fuente de ese campo.
La segunda ecuación de Maxwell, también conocida como la ley de Gauss para el magnetismo, establece que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es siempre cero. Matemáticamente, esto se expresa como:
[latex]\displaystyle \vec{\nabla}\cdot \vec{B}= 0[/latex]
Donde [latex]\mathbf{B}[/latex] es el campo magnético. Esta ecuación nos dice que no existen fuentes magnéticas puntuales, es decir, que no hay cargas magnéticas aisladas.
La tercera ecuación de Maxwell, también conocida como la ley de Faraday, establece que la variación temporal del campo magnético induce una fuerza electromotriz (fem) en un circuito cerrado. Matemáticamente, esto se expresa como:
Esta ecuación nos dice que un campo magnético en movimiento produce un campo eléctrico, y viceversa. Esta es la base del generador eléctrico y de la inducción electromagnética.
La cuarta ecuación de Maxwell, también conocida como la ley de Ampère-Maxwell, establece que la variación temporal del campo eléctrico produce una corriente magnética. Matemáticamente, esto se expresa como:
Donde [latex]\mu_0[/latex] es la permeabilidad magnética del vacío y [latex]\mathbf{J}[/latex] es la densidad de corriente. Esta ecuación nos dice que una corriente eléctrica produce un campo magnético, y que un campo eléctrico variable también produce un campo magnético.
Ecuaciones de Maxwell en coordenadas covariantes
Las ecuaciones de Maxwell también pueden ser expresadas en términos de coordenadas covariantes, utilizando la notación de índices de Einstein y la métrica de Minkowski. Esta formulación es muy útil en la teoría de la relatividad, ya que las leyes de la física deben ser invariantes bajo transformaciones de Lorentz.
En este sistema de coordenadas compatible con la relatividad especial las ecuaciones se reducen a 2:
$$\displaystyle \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$$
$$\displaystyle \partial_\mu \mathcal{F}^{\mu\nu} = 0$$
Donde $$F^{\mu\nu}$$ es el tensor electromagnético y $$\mathcal{F}^{\mu\nu}$$ es su tensor dual.
Si queréis saber más estad atentos, pronto publicaremos un post sobre las ecuaciones de Maxwell covariantes y el cálculo tensorial…
