Hay una muy estrecha relación entre las simetrías continuas de un sistema y la existencia de leyes de conservación (una pequeña pista es que haya tantas de estas como simetrías).

Si nuestras leyes físicas no cambian bajo traslaciones espaciales, entonces se conserva el momento lineal (la variable conjugada de la posición). Si no cambian bajo rotaciones entonces se conserva el momento angular y análogamente la conservación de la energía (la conjugada o momento temporal) corresponde al traslado temporal.

A pesar de ser unas observaciones profundas,  ¡lo más sorprendente es la sencillez de la demostración! Lo único que se necesita para entender los detalles técnicos es saber derivar y, conceptualmente, tener alguna idea del formalismo Lagrangiano.

Si el lector se pierde, se le recomienda que salte a la sección de ejemplos para poderse agarrar a algo concreto y después volver.

¿Qué era eso de la derivada?

Como recordatorio, y para fijar la notación, si tenemos una función que depende de varias variables, por ejemplo $latex f(x,y)$ , entonces la derivada nos dice como cambia la función al hacer una variación muy pequeña en las variables: $latex x \to x + \delta x$, $latex y \to y + \delta y$ , donce $latex \delta x$ representa un cambio “infinitesimal”. Al incremento de la función lo llamaremos $latex \delta f(x,y) =f(x+\delta x, y+ \delta y)-f(x,y)$ . Entonces:

$latex \delta f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\, \delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \,\delta y$

A veces omitiremos la dependencia con las variables (por ejemplo escribiremos $latex \delta f(x,y) = \delta f $ ) para aligerar la notación. A $latex \frac{\partial f}{\partial x}$ la llamamos derivada parcial respecto a $latex x$ y lo que nos dice es lo sensible que es la función ante variaciones del primer argumento manteniendo fijo el segundo, la $latex y$. Análogamente, $latex \frac{\partial f}{\partial y}$, nos dice como cambia $latex f(x,y)$ al variar $latex y$ y mantener fijo $latex x$.

Si tenemos que las variables dependen de un parámetro global como el tiempo y queremos derivar respecto a él, cambiaremos ligeramente de notación y usaremos $latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ para representar la derivada en vez de $latex \frac{\partial}{\partial t}$. Junto con la regla de la cadena, $latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (f\circ g)(t)=\frac{\mathrm{d}f(g(t))}{\mathrm{d}g(t)}\frac{\mathrm{d}g(t)}{\mathrm{d}t}$ , tenemos

$latex \delta f = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x(t),y(t)) \mathrm{d}t = \left[\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]\mathrm{d}t$

Lo fundamental que hay que saber sobre la integración es que es una suma. Si sumamos muchos incrementos o diferencias pequeñas (“infinitesimales”) nos dará la diferencia neta (como una suma telescópica, $latex (x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}+x_{n-2})+\cdots+(x_2-x_1)=x_n-x_1$):

$latex \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\, \mathrm{d}t = \int \mathrm{d} f = f(t_2)-f(t_1)$

¿Qué era eso del formalismo Lagrangiano?

Puede leer nuestro próximo artículo sobre este tema para una introducción más larga. Lo básico es lo siguiente: para una teoría podemos definir una función que contiene toda la información sobre la evolución del sistema, y esa función es el Lagrangiano:

$latex \mathcal{L}(x(t),v(t))$

¿Cómo nos da información sobre el sistema? Mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$latex \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}$

Las trayectorias en el espacio de fases $latex (x(t),v(t))$ que cumplen la ecuación anterior son las trayectorias “reales” del sistema. La ecuaciones de Euler-Lagrange se consiguen minimizando la denominada acción, $latex S=\int_{t_A}^{t_B} \mathcal{L}(x(t),v(t))\,\mathrm{d}t$, que lo que hace es pesar cualquier trayectoria posible asignándole un número. La trayectoria para la cual $latex S$ es mínima o máxima es la que sigue el sistema. Esto es lo más mínimo para entender el resto del artículo.

Teorema de Noether

Consideremos ahora un sistema clásico que viene a ser descrito por un Lagrangiano, $latex \mathcal{L}(x(t),v(t))$. Por simplicidad suponemos que hay una sola partícula para evitar sumatorios, pero de manera más general se pueden considerar tantas coordenadas como uno quiera, $latex \mathcal{L}(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t),v_1(t),v_2(t),\ldots,v_n(t))$. También supondremos que el tiempo no es una variable de la que $latex \mathcal{L}$ dependa de manera directa.

La interpretación de estas coordenadas depende del problema: pueden ser las posiciones  y velocidades de $latex n$ partículas en una dimensión, o $latex n/3$ partículas (si $latex n$ es múltiplo de 3) con tres coordenadas para la posición y tres para la velocidad por partícula.

Ahora consideremos que variamos infinitesimalmente para el caso de una partícula, $latex \mathcal{L}(x(t),v(t))$, tanto la velocidad como la posición, $latex x(t)\to x(t)+\delta x(t)$ , $latex v(t)\to v(t)+\delta v(t)$. Para aligerar la notación, omitiremos la dependencia temporal. Entonces

$latex \delta\mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \delta v + \frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial x} \delta x$

Teniendo en cuenta que $latex \delta v = \delta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \delta x$ (escriba el lector el incremento como $latex \delta x = \epsilon \eta(x(t))$ y que lo derive para convencerse; $latex \epsilon$ se escoge tal que no dependa del tiempo), la ecuación de Euler  $latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}$ y la regla del producto ( $latex \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(xy)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}y+x\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d}t}$ ), llegamos a

$latex \delta\mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\delta x)\right] + \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}\right)\right] \delta x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \delta x\right]$

Ahora, si la variación en $latex x(t)$ y $latex v(t)$ es tal que el Lagrangiano no cambia ( $latex \delta \mathcal{L}=0$ ), entonces llamamos a esta transformación infinitesimal una simetría del Lagrangiano.

Vemos que tenemos una derivada temporal igualada a cero, es decir, tenemos una magnitud que no cambia en el tiempo:

$latex \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \delta x = Q = \text{constante}$

Para cada simetría $latex \delta x$ continua tenemos una magnitud conservada. Es importante que debemos sumar a todas las variables. En este caso solo hay una posición, pero en general no será así.

[Puede saltarse este apartado, es para los curiosos.] Para el caso clásico no se ve de manera obvia, pero al trabajar con campos y de una manera más general (añadiendo que el Lagrangiano dependa además de derivadas espaciales también) la expresión anterior toma la forma $latex 0 = \partial_\mu \left( \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta\,\partial_\mu \phi_a}\,\delta \phi_a\right)=\partial_\mu j^\mu$ donde se suma sobre índices repetidos, $latex \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ y $latex \phi_a(x^\mu)$ es un campo. El lector igual reconocerá que es la divergencia de algo igual a cero, es decir, una ecuación de continuidad, siendo $latex j^\mu$ la corriente generalizada. En este caso el índice $latex \mu$ recorre 4 variables: las tres espaciales y la temporal. Para cada simetría tenemos una corriente generalizada $latex j^\mu$ asociada que también nos da una llamada carga generalizada.

Ejemplos

Después de un ejercicio de abstracción, viene bien disfrutar de ejemplos concretos.

Conservación del momento lineal

Cojamos un Lagrangiano que tiene simetría bajo las traslaciones espaciales. Por ejemplo, el de dos partículas en una dimensión con un potencial que depende de la distancia entre ellas:

$latex \mathcal{L}(x_1,x_2,v_1,v_2)=\frac{1}{2}(m_1v_1^2+m_2v_2^2)-V(\vert x_1 – x_2 \vert)$

Es evidente que bajo cambios infinitesimales de la forma $latex x_1 \to x_1 + \epsilon$, $latex x_2 \to x_2 + \epsilon$, el potencial no cambia (es importante que desplazemos ambas partículas en la misma cantidad, porque sino el Lagrangiano cambiaría). Aplicando la fórmula de la sección anterior:

$latex \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_1} \delta x_1+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_2}\delta x_2\right)=Q =\epsilon (m_1v_1+m_2v_2)$

¡Esto no es nada más que la conservación del momento lineal! Nótese que $latex \epsilon$ es algo independiente del tiempo porque nosotros no consideramos un sistema en cuya evolución hay desplazamientos o rotaciones (que es lo que pasaría si $latex \epsilon=\epsilon(t)$ porque las partículas se acercarían y alejarían de manera forzada), sino que consideramos dos sistemas distintos que sólo difieren en este caso en un traslado.

Conservación del momento angular

Consideremos una única partícula en dos dimensiones en un potencial radial, es decir, tenemos simetría esférica:

$latex \mathcal{L}(x,y,v_x,v_y)=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)-V(\sqrt{x^2+y^2})$

Ya sabemos que es invariante bajo rotaciones,

$latex R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}$

Si rotamos “infinitesimalmente” entonces queda de la siguiente forma, aproximando los cosenos por $latex 1$ y los senos por $latex \mathrm{d}\theta$ y aplicando la rotación a un vector $latex (x,y)$:

$latex \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \to R \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & -\mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\theta & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x- y\,\mathrm{d}\theta \\ y+x\,\mathrm{d}\theta \end{bmatrix}$

Aplicando la forma general del teorema de Noether tenemos

$latex Q = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_x} \delta x + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_y} \delta y =  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_x} (-y \mathrm{d}\theta) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_y} (x \mathrm{d}\theta)= \mathrm{d}\theta \left( x (m v_y) – y (m v_x)\right) = \mathrm{d}\theta L_z$

Vemos que tenemos la conservación del momento angular perpendicular al plano en el cual se gira.

Conservación de la energía

Al no ser el tiempo una variable como tal del Lagrangiano en el análisis que hemos considerado (esto es porque $latex \mathcal{L}$ depende de $latex (x,v)$ únicamente;  como $latex x=x(t), v=v(t)$ dependen del tiempo, decimos que $latex \mathcal{L}$ depende indirectamente de $latex t$) debemos tener algo más de cuidado porque no se puede aplicar la fórmula.  Sin embargo, veremos que algo sí que se puede hacer.

Cojamos un Lagrangiano de una partícula en una dimensión con un potencial arbitrario que depende únicamente de las posiciones, $latex \mathcal{L}=\frac{1}{2}mv(t)^2-V(x(t))$. Aunque el desplazamiento temporal no sea una simetría, podemos aplicar el mismo razonamiento que antes sólo que $latex \delta \mathcal{L}\neq 0$:

$latex 0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} \delta x\right] -\delta \mathcal{L}$

Tenemos pues $latex \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v}=mv$. Si avanzamos en el tiempo “infinitesimalmente” $latex \epsilon$ unidades, tenemos $latex x(t)\to x(t+\epsilon)=x(t)+\epsilon v$, luego $latex \delta x = \epsilon v$. También se tiene $latex \delta \mathcal{L} = \frac{\mathrm{d}\mathcal{L}}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \epsilon \frac{\mathrm{d}\mathcal{L}}{\mathrm{d}t} $. Sustituyendo:

$latex 0 =\epsilon  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[mv^2 – \mathcal{L} \right] = \epsilon  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[mv^2 – \left(\frac{1}{2}mv^2-V(x)\right) \right] = $

$latex = \epsilon  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\left(\frac{1}{2}mv^2+V(x)\right) \right] = \epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E = 0$

¡Vemos pues que la energía (suma del término cinético más el potencial) se conserva!

Conclusión

Hemos visto que si el Lagrangiano que describe tu teoría es invariante bajo rotaciones, traslaciones espaciales y temporales (lo último con alguna pega) entonces eso implica la conservación del momento angular, lineal y la energía.

¿Por qué haría uno traslaciones de esta forma? La respuesta es fácil: no son más que cambios de coordenadas. Desplazar el origen, rotar los vectores de la base o cambiar el cero del reloj que utilicemos se puede interpretar como simplemente cambiar de observador. Por lo tanto, si buscamos alguna expresión matemática que describa un sistema físico e imponemos la muy razonable condición de que no dependa del sistema de referencia, entonces automáticamente eso conlleva la conservación de los momentos y de la energía.

Referencias

Zee, Anthony. Einstein gravity in a nutshell. Princeton University Press, 2013.