El patrón de Kelvin en estelas de barcos

En las líneas de este artículo veremos que la física no solo se puede apreciar y observar en laboratorios de tecnología puntera y alta complejidad o mediante potentes microscopios y telescopios, que sustituyen a nuestros ojos a distancias tan ínfimamente pequeñas como grandes. Si nos remitimos a la propia etimología de la palabra física (término proveniente del lat. physica, y este del gr. τὰ φυσικά, neutro plural de φυσικός, ‘natural, relativo a la naturaleza’), entendemos que la física busca modelizar, explicar y describir los fenómenos que tienen lugar en la naturaleza a todos los niveles.

Lidia Martinez Herraiz es estudiante del grado de Física en la Universidad Autónoma de Madrid, cursando su último curso,  y es actualmente la vicepresidenta de NUSGREM.

Al pensar en esta descripción matemática de la naturaleza, probablemente el primer ejemplo que os viene a la cabeza por excelencia es nuestro querido Newton con su descubrimiento de la gravedad al observar caer una manzana de los manzanos del jardín de su casa. Y he de decir que tampoco andáis muy lejos, porque aunque no sea Isaac Newton, es William Thomson, también llamado Lord Kelvin, de quien vamos a hablar aquí (curiosamente ambos son vecinos de tumba en la Abadía de Westminster). Lord Kelvin destacó por sus importantes contribuciones en el campo de la electricidad y de la termodinámica. Tanto es así que la usada Escala Kelvin de temperatura recibe ese nombre en su honor. Gracias a sus logros científicos, en 1892 fue nombrado barón. De todas sus contribuciones hoy nos vamos a centrar en la estela Kelvin, una de sus teorías menos conocidas y que se puede apreciar en nuestro día a día sin mucha dificultad, como por ejemplo cuando contemplamos el nado de los patos (Figura 1).

Figura 1 Patos nadando creando una estela donde se aprecia el mismo ángulo de apertura, ángulo de Kelvin, en la onda superficial.

El teorema de Lord Kelvin dice que; independientemente de la velocidad del barco (mientras sea constante) y la forma de su casco, la estela que deja tras de sí abarca un sector angular cuyo ángulo se mantiene contante a α=39º.

Para describir matemáticamente este fenómeno suponemos que el patrón de ondas ha sido producido por un objeto que se mueve a aguas profundas h>>L, donde h es la profundidad del agua y L la longitud del objeto. Por tanto, h>>λ, donde λ es la longitud de onda que caracteriza la perturbación. A este tipo de ondas formadas con estas características se las conoce como ondas de gravedad (Las ondas capilares que tienen velocidad de fase de ese orden de magnitud se amortiguan muy rápidamente, de modo que el patrón de ondas capilares estacionarias es desde todo punto de vista insignificante) y tienen lugar en aguas extensas y profundas. Nótese que al tratarse de ondas profundas y extensas se desprecian los efectos de borde y fondo.

Hay que tener en cuenta también que el potencial de velocidades se rige por la ecuación de Laplace (para fluidos) de la presión , y ha de ser finito para el caso del valor de la altura , ya que hemos supuesto

La solución refleja un comportamiento armónico y otro comportamiento exponencialmente decreciente a la superficie (comportamiento evanescente) ec.1.

Cuya frecuencia de oscilación , está determinada por la siguiente relación de dispersión:

Donde g es la aceleración de la gravedad.

A partir de la ec.2 se pueden calcular las velocidades de fase y grupo:

(3)

(4)

La explicación más sencilla para vislumbrar el ángulo de apertura que se produce en el fluido, es mediante un argumento geométrico. Otra forma de obtenerlo es a través de la transformada de Fourier. En este artículo utilizaremos el método trigonométrico al ser más simple de entender para aquellos que no conozcan el uso de la transformada. Al no coincidir las velocidades de fase y grupo ecs. (3) y (4), se produce un cono de ondas, que recuerda a un cono supersónico de Mach (ver Figura 2).

Figura 2 Envolvente de la perturbación producida por un barco al moverse con velocidad constante desde el punto Q hasta P, extraído de  [1].

Los frentes de onda de que se ven en reposo desde el barco tienen una velocidad de fase que cumple la condición:

Por lo tanto, el grupo de ondas que se produjeron cuando el barco paso por Q, habrá recorrido una distancia Ct=ct/2 (por (3 y 4)). De modo que cuando el barco está en P el grupo se encuentra en T, punto medio de QS (ver Figura 3). Todas las ondas que contribuyen al patrón estacionario, se encuentran sobre una circunferencia de radio ut/4 con centro en el punto R, situado a una distancia PR=(3/4)ut de P. Si se hace el mismo procedimiento para todos los puntos entre Q y P se reproduce el patrón de circunferencias de la Figura 2 y cada una de esas circunferencias tiene un radio igual a un tercio la distancia de su centro a P. Por tanto, las circunferencias llenan un sector angular de abertura α.

Figura 3 Construcción geométrica para determinar la posición de las ondas estacionarias cuyo vector de onda forma un ángulo δ con respecto a la dirección de movimiento del barco, extraído de [1].

Podemos reproducir este patrón de forma matemática utilizando la trasformada de Fourier como hemos mencionado con anterioridad. Con este otro método se puede obtener también las ecuaciones de movimiento de la estela, de forma que estas cumplan las condiciones de contorno de aguas profundas. El análisis es algo tedioso, por lo que no vamos a poner su desarrollo. Si te interesa, puedes encontrar todos los detalles de este método en [2].

Las ecuaciones que describen el movimiento de patrón bidimensional de la estela representado en la figura 4 son:

Donde, para curvas de fase constante ψ se reproduce el patrón de ola.

Figura 4 representación gráfica bidimensional del patrón obtenido proviene de representar las ecuaciones paramétricas anteriores. Además, cada curva distinta pertenece a un valor de la fase ψ. El ángulo que forman las rectas con el eje de abscisas es el ángulo de Kelvin α = 39º. Los ángulos que se observan en las estelas son, por tanto, el doble de α.

Toda esta teoría está muy bien, pero hasta que no se demuestra experimentalmente, no se puede aceptar como válida. Así que, ¡vamos a experimentar!

DEMOSTRACIÓN EXPERIMENTAL

No os hemos mentido cuando os hemos dicho que no se necesitan laboratorios y material complejo y costoso para observar este efecto del ángulo de la Estela de Kelvin. Por ello os vamos a citar una lista del material por si queréis reproducirlo en vuestras casas, para que veáis que aquí no hay truco, ni trampa, ni cartón.

MATERIAL PARA EL EXPERIMENTO

– Una cámara de fotos/móvil.

– Una barquita de juguete (si se puede que sea teledirigida, para controlar mejor que la velocidad sea constante en todo momento).

– Transportador de ángulos.

– Ilusión y ganas por hacer el experimento.

El procedimiento experimental a seguir, es meter nuestro barco en un estanque, piscina, bañera… con una profundidad de agua mucho más grande que la longitud de nuestro barco. Y una vez que nuestro barquito haya alcanzado una velocidad constante, hacer fotos con el objetivo de la cámara lo más paralelo posible a la superficie del agua, para evitar posibles aberraciones en los ángulos de nuestras medidas.

El primer experimento, consiste en calcular el ángulo de Kelvin a diferentes profundidades para una lancha teledirigida (de longitud 11cm) a velocidad constante, y recordemos que nos encontramos en una aproximación que funciona en un régimen de aguas profundas comparado con el tamaño del barco.

Figura 5. Se muestran los diferentes ángulos de Kelvin obtenidos para distintas profundidades a) h= 5cm b) h=10cm c) h=15cm d) h=20cm e) h=1,6m.

De todas las profundidades para las que hemos realizado el experimento, la que realmente es más cercana a la condición impuesta de llevar a cabo el montaje en aguas profundas es la Figura 5 e. Para este caso vemos que el valor alcanzado es de 79,38º, que difiere en un error relativo del 2% con respecto al teórico (2α=78º). El resto de casos contemplados en la figura 5 difieren bastante del valor teorizado, siendo de estos el más próximo el de h=20cm que tiene un error relativo del 3%.

En base a estos resultados vamos a rizar más el rizo y someter a experimento la otra parte enunciada en el teorema de Lord Kelvin que nos decía que: el ángulo era independiente de la forma. En este caso mantendremos constante la altura h=20cm junto con la velocidad y arrastramos objetos de lo más variopintos

Figura 6. Se muestran los diferentes ángulos de Kelvin obtenidos para distintas formas no simétricas de casco de la embarcación a) forma de caballito b) forma de pez c) forma de Spiderman.

La media de todas las medidas arroja un ángulo de 80±2º por lo que entra dentro del error con el valor esperado.

Bueno, y por último, para no quedarnos con las ganas… ¿qué pasaría si hiciéramos el experimento en un laboratorio de verdad? Pues cogemos la cámara y vamos a hacer nuestras medidas al Canal de Ensayos Hidrodinámicos (CEHINAV) perteneciente a la Universidad Politécnica de Madrid.

Figura 7. Carro de arrastre del Canal de Ensayos Hidrodinámicos CEHINAV, extraído de [3].

Para esta última tanda de medidas, lo que vamos a variar es la velocidad de arrastre, a diferentes valores constantes.

Figura 8. Se muestran los diferentes ángulos de Kelvin obtenidos para distintas velocidades de arrastre a) velocidad 0,7 m/s b) velocidad 0,8 m/s.

Por la figura 8 vemos que aun variando la velocidad, ambos valores están en el ángulo previsto.

Por tanto, teniendo en cuenta todo lo anterior, podemos concluir que el teorema de Lord Kelvin se confirma. Tanto para el caso de aguas profundas en el canal de ensayos, como en la piscina,… ¡y hasta en una bañera! Y lo hemos comprobado todo utilizando materiales disponibles en nuestra vida cotidiana y con los que, empleándolos en los experimentos, se obtienen unos relativos óptimos resultados.

En realidad da igual el método a seguir, si casero o en laboratorio, porque ambos resultados han reflejado resultados igualmente válidos. Todos coinciden, con independencia de la utilización de objetos con diferentes velocidades, formas y simetrías, en los resultados predichos por Kelvin, ya que no difieren significativamente con el valor del ángulo de la estela predicho.

Para los más reacios a tomar por ciertos los resultados obtenidos en nuestros experimentos debido a los métodos utilizados aquí, y que quieran algo rápido y a coste cero, os dejamos una cuarta opción para la comprobación experimental. Es muy simple: buscar en Google Earth cerca de bahías, embarcaderos…, zonas donde se pueda encontrar barcos con normalidad. Con las imágenes de los barcos capturados por el satélite en movimiento, someterlas a un análisis similar al ya realizado en este artículo. Así de fácil, así de rápido.

Así que no hay excusas para la comprobación experimental de nuestros teoremas. Porque en la física, para una teoría cualquiera, por muy brillante e ingeniosa que sea, quien dicta el veredicto final de su validez son los resultados de los experimentos.

REFERENCIAS

[1] Julio Gratton; Introducción a la Mecánica de Fluidos, Tema 9, p.184.

[2] A. J. Hermans; Water Waves and Ship Hydroynamics, Springer, p. 27.

[3] http://canal.etsin.upm.es/archives/2269/carro-de-arrastre-de-los-modelos/

COLABORADORES

Álvaro Muñoz Murillo (UAM)

Marta Peña Domínguez (UAM)

AGRADECIMIENTOS

Al Canal de Estudios Hidrodinámicos de la Universidad Politécnica de Madrid (CEHINAV), por la cesión de sus instalaciones para la realización del experimento.

A mis padres, porque han puesto su granito de arena ayudándome en la realización de los experimentos.

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